Question

5．已知$\overrightarrow{a}$=（x-1，y），$\overrightarrow{b}$=（x+1，y）．|$\overrightarrow a$|+|$\overrightarrow b$|=4
（1）求M（x，y）的轨迹方程C．
（2）P为曲线C上一动点，F₁（-1，0），F₂（1，0），求$\overrightarrow{P{F_1}}$•$\overrightarrow{P{F_2}}$的最大值和最小值；
（3）直线l与曲线C交于A，B两点，若以AB为直径的圆过原点O，试探究点O到直线l 的距离是否为定值？若是，求出该定值，若不是，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据条件便可得到$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}+\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}=4$，这便说明点（x，y）到定点（-1，0），（1，0）的距离为4，从而可得到M（x，y）的轨迹为椭圆，并且椭圆方程可求出为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）可设P（x₀，y₀），从而可以求出$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}={{x}_{0}}^{2}-1+{{y}_{0}}^{2}$，而根据点P在椭圆上，便可消去y₀得到关于x₀的式子，再根据x₀的范围即可得出$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$的范围，即可求出其最大、最小值；
（3）可设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根据条件便得到$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，从而可得到x₁x₂+y₁y₂=0，考虑用直线l的方程，从而讨论l的斜率：不存在斜率时，可设直线方程为x=t，联立椭圆的方程即可得出x₁x₂，y₁y₂，从而可以求出t=$±\frac{2\sqrt{21}}{7}$，这便得到O到l的距离为$\frac{2\sqrt{21}}{7}$；l存在斜率时，可设方程为y=kx+b，从而可以得到$（1+{k}^{2}）{x}_{1}{x}_{2}+km（{x}_{1}+{x}_{2}）+{m}^{2}=0$，而联立直线方程和椭圆方程，消去y便可得出关于x的一元二次方程，根据韦达定理即可求出x₁x₂，x₁+x₂，带入前面的式子便可以得到7m²=12（1+k²），从而可以求出点O到直线l的距离，从而判断O到l的距离是否为定值．

解答 解：（1）由$|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{b}|=4$得：$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}+\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}=4$；
∴点（x，y）到定点（1，0），（-1，0）的距离之和为4；
∴M（x，y）的轨迹是焦点为（-1，0），（1，0），长轴长为4的椭圆；
∴c=1，a=2，$b=\sqrt{3}$；
∴椭圆的方程，即M（x，y）的轨迹方程C为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）设P（x₀，y₀），P点在曲线C上，∴$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{3}=1$；
∴${{y}_{0}}^{2}=\frac{12-3{{x}_{0}}^{2}}{4}$；
∴$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}=（-1-{x}_{0}，-{y}_{0}）•（1-{x}_{0}，-{y}_{0}）$=${{x}_{0}}^{2}-1+{{y}_{0}}^{2}$=${{x}_{0}}^{2}-1+\frac{12-3{{x}_{0}}^{2}}{4}$=$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}+2$；
∵-2≤x₀≤2；
∴$0≤{{x}_{0}}^{2}≤4$；
∴$2≤\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}+2≤3$；
∴$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$的最大值为3，最小值为2；
（3）以AB为直径的圆过原点O；
∴$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$；
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁x₂+y₁y₂=0；
①若直线l不存在斜率，设l的方程为x=t，则由：$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$得，${y}^{2}=\frac{12-3{t}^{2}}{4}$；
∴${x}_{1}{x}_{2}={t}^{2}，{y}_{1}{y}_{2}=\frac{3{t}^{2}-12}{4}$；
∴${t}^{2}+\frac{3{t}^{2}-12}{4}=0$；
∴$t=±\frac{2\sqrt{21}}{7}$；
∴O到l的距离为$\frac{2\sqrt{21}}{7}$；
②若直线l存在斜率，设方程为y=kx+m；
∵x₁x₂+y₁y₂=0；
∴x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=0；
$（1+{k}^{2}）{x}_{1}{x}_{2}+km（{x}_{1}+{x}_{2}）+{m}^{2}=0$（Ⅰ）；
将y=kx+m带入$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$得，（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0；
∴${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{8km}{3+4{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$；
带入（Ⅰ）得：7m²=12（1+k²）；
∴O到直线l的距离为$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}=\frac{2\sqrt{21}}{7}$；
综上得，点O到直线l的距离为定值，定值为$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．

点评 考查根据向量坐标求向量长度，椭圆的定义及椭圆的标准方程，椭圆上的点的横坐标的范围，以及向量垂直的充要条件，直线的点斜式方程，韦达定理，点到直线的距离公式，不要漏了直线l的斜率不存在的情况．