分析 令t=f(x)-log3x,则f(x)=t+log3x,f(t)=4,解出t得到f(x)的解析式,令g(x)=f(x)-2f'(x)-3,计算g(a)的值,a∈N,根据零点的存在性定理得出答案.
解答 解:令t=f(x)-log3x,则f(x)=t+log3x,
∵f[f(x)-log3x]=4,∴f(t)=4,即t+log3t=4,解得t=3.
∴f(x)=3+log3x,f′(x)=$\frac{1}{xln3}$,
令g(x)=f(x)-2f'(x)-3=log3x-$\frac{2}{xln3}$,则g′(x)=$\frac{1}{xln3}+\frac{2}{{x}^{2}ln3}$=$\frac{1}{xln3}(1+\frac{2}{x})$>0.
∴g(x)在(0,+∞)上是增函数.
∵g(2)=log32-$\frac{1}{ln3}$=log32-log3e=log3$\frac{2}{e}$<0,g(3)=1-$\frac{2}{3ln3}$>0,
∴g(x)在(2,3)上存在唯一一个零点,即2<x0<3.
故答案为2.
点评 本题考查了函数单调性,零点的存在性定理,求出f(x)的解析式是解题关键,属于中档题.
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A. | 9 | B. | 10 | C. | 11 | D. | 12 |
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A. | {x|-1<x<0} | B. | {x|2≤x<4} | C. | {x|x<0或x>2} | D. | {x|x≤0或x≥2} |
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