【题目】已知函数,为的导函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)若函数在上存在最大值0,求函数在上的最大值;
(3)求证:当时,.
【答案】(1)见解析(2) (3)见解析
【解析】分析:(1)对a分类讨论,求函数的单调区间.(2)根据函数在上存在最大值0转化得到a=1,再求函数在上的最大值.(3)先利用第2问转化得到,再证明≤0.
详解:(1)由题意可知, ,则,
当时,,∴在上单调递增;
当时,解得时,,时,
∴在上单调递增,在上单调递减
综上,当时,的单调递增区间为,无递减区间;当时,的单调递增区间为,单调递减区间为.
(2)由(1)可知,且在处取得最大值,
,即,
观察可得当时,方程成立
令,
当时,,当时,
∴在上单调递减,在单调递增,
∴,
∴当且仅当时,,
所以,由题意可知,在上单调递减,
所以在处取得最大值
(3)由(2)可知,若,当时,,即,
可得,
令,即证
令,
∵
∴,又,∴
∴,在上单调递减,,
∴,当且仅当时等号成立
所以.
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【题目】为增进市民的环保意识,某市有关部门面向全体市民进行了一次环保知识的微信问卷测试活动,每位市民仅有一次参与问卷测试机会.通过抽样,得到参与问卷测试的1000人的得分数据,制成频率分布直方图如图所示.
(1)估计成绩得分落在[86,100]中的概率.
(2)设这1000人得分的样本平均值为.
(i)求(同一组数据用该区间的中点值作代表);
(ii)有关部门为参与此次活动的市民赠送20元或10元的随机话费,每次获赠20元或10元的随机话费的概率分别为和.得分不低于的可获赠2次随机话费,得分低于的可获赠1次随机话费.求一位市民参与这次活动获赠话费的平均估计值.
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【题目】如图,四棱锥中,底面 ABCD为矩形,侧面为正三角形,且平面平面 E 为 PD 中点,AD=2.
(1)证明平面AEC丄平面PCD;
(2)若二面角的平面角满足,求四棱锥 的体积.
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【题目】为了了解甲、乙两校学生自主招生通过情况,从甲校抽取60人,从乙校抽取50人进行分析。
(1)根据题目条件完成上面2×2列联表,并据此判断是否有99%的把握认为自主招生通过情况与学生所在学校有关;
(2)现已知甲校三人在某大学自主招生中通过的概率分别为,,,用随机变量X表示三人在该大学自主招生中通过的人数,求X的分布列及期望.
参考公式:.
参考数据:
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【题目】如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PD⊥平面ABCD,点E、F分别是AB和PC的中点.
(1)求证:AB⊥平面PAD;
(2)求证:EF//平面PAD.
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【题目】某学校为了加强学生数学核心素养的培养,锻炼学生自主探究学习的能力,他们以教材第82页第8题的函数为基本素材,研究该函数的相关性质,取得部分研究成果如下:
①同学甲发现:函数的定义域为;
②同学乙发现:函数是偶函数;
③同学丙发现:对于任意的都有;
④同学丁发现:对于任意的,都有;
⑤同学戊发现:对于函数定义域中任意的两个不同实数,总满足.
其中所有正确研究成果的序号是__________.
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【题目】2018年8月18日,举世瞩目的第18届亚运会在印尼首都雅加达举行,为了丰富亚运会志愿者的业余生活,同时鼓励更多的有志青年加入志愿者行列,大会主办方决定对150名志愿者组织一次有关体育运动的知识竞赛(满分120分)并计划对成绩前15名的志愿者进行奖励,现将所有志愿者的竞赛成绩制成频率分布直方图,如图所示,若第三组与第五组的频数之和是第二组的频数的3倍,试回答以下问题:
(1)求图中的值;
(2)求志愿者知识竞赛的平均成绩;
(3)从受奖励的15人中按成绩利用分层抽样抽取5人,再从抽取的5人中,随机抽取2人在主会场服务,求抽取的这2人中其中一人成绩在分的概率.
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【题目】已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为,且过点.点M(3,m)在双曲线上.
(1)求双曲线的方程;
(2)求证:;
(3)求△F1MF2的面积.
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