Question

已知直线l：kx-y+1+2k=0．
（1）证明：直线l过定点；
（2）若直线l交x负半轴于A，交y正半轴于B，△AOB的面积为S，试求S的最小值并求出此时直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）直线l过定点，说明定点的坐标与参数k无关，故让k的系数为0 可得定点坐标．
（2）求出A、B的坐标，代入三角形的面积公式化简，再使用基本不等式求出面积的最小值，
注意等号成立条件要检验，求出面积最小时的k值，从而得到直线方程．

解答：解：（1）证明：由已知得k（x+2）+（1-y）=0，
∴无论k取何值，直线过定点（-2，1）．
（2）令y=0得A点坐标为（-2-

1

k

，0），
令x=0得B点坐标为（0，2k+1）（k＞0），
∴S_△AOB=

1

2

|-2-

1

k

||2k+1|
=

1

2

（2+

1

k

）（2k+1）=（4k+

1

k

+4）
≥

1

2

（4+4）=4．
当且仅当4k=

1

k

，即k=

1

2

时取等号．
即△AOB的面积的最小值为4，此时直线l的方程为

1

2

x-y+1+1=0．
即x-2y+4=0

点评：本题考查过定点的直线系方程特征，以及利用基本不等式求式子的最小值．