Question

已知函数f(x)=

1

3

x3-

a

2

x2，g(x)=

1

2

x2-ax+

a2

2

．
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点P（3，f（3））处的切线方程；
（2）当函数y=f（x）在区间[0，1]上的最小值为-

1

3

时，求实数a的值；
（3）若函数f（x）与g（x）的图象有三个不同的交点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当a=2时，f(x)=

1

3

x3-x2，求出切点的坐标与切点处的导数利用点斜式写出切线方程即可；
（2）当函数y=f（x）在区间[0，1]上的最小值为-

1

3

时，求出其导数，对参数a的值进行讨论确定出最值的大小，利用最小值为-

1

3

时建立方程求a．
（3）函数f（x）与g（x）的图象有三个不同的交点，则f（x）-g（x）=0有三个根，利用导数研究相关函数的极值，由图象确定出参数的范围即可．

解答：（1）a=2时，f(x)=

1

3

x3-x2，f′（x）=x²-2x，
∴f（3）=0，f′（3）=3²-2×3=3
故切点坐标是（3，0），切点处导数是3
故曲线y=f（x）在点P（3，f（3））处的切线方程是y=3（x-3），即3x-y-9=0
（2）f′（x）=x²-ax=x（x-a）
当a＜0时，令导数大于0可得x＞0或x＜a，故函数在[0，1]上是增函数，故最小值在x=0处取到
验证知不合题意
当a＞1时，可解得函数在[0，1]上是减函数故最小值在x=1处取到，即

1

3

-

a

2

=-

1

3

，a=

4

3

符合要求
当0＜a＜1时，验证知，无解
故符合条件的值为a=

4

3

（3）函数f（x）与g（x）的图象有三个不同的交点，则f（x）-g（x）=0有三个根，
令F（x）=f（x）-g（x）=

1

3

x3-

a

2

x2-

1

2

x2+ax-

a2

2

F′（x）=x²-ax-x+a=（x-1）（x-a）
F（x）=f（x）-g（x）=0有三个根，故a≠1且有F（1）F（a）＜0
故有(

1

3

-

a

2

-

1

2

+a-

a2

2

)(-

1

6

a3)＜0即a³（3a²-3a+1）＜0，
由于3a²-3a+1＞0恒成立，故a＜0
函数f（x）与g（x）的图象有三个不同的交点，求实数a的取值范围是a＜0

点评：本题考查利用导数研究函数某点处的切线的方程以及函数有三个交点的问题求参数，本题的求解关键是对求导公式的熟练掌握以及对函数最值的判断方法，两函数有三个交点求参数时问题的转化方向．