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【题目】如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是平行四边形,∠ACB=90°,平面PAD⊥平面ABCD,PA=BC=1,PD=AB= ,E、F分别为线段PD和BC的中点.
(Ⅰ)求证:CE∥平面PAF;
(Ⅱ)在线段BC上是否存在一点G,使得平面PAG和平面PGC所成二面角的大小为60°?若存在,试确定G的位置;若不存在,请说明理由.

【答案】解:(Ⅰ)证明:取PA中点为H,连结CE、HE、FH,

∵H、E分别为PA、PD的中点,∴HE∥AD,HE=

∵ABCD是平行四边形,且F为线段BC的中点,

∴FC∥AD,EC=

∴HE∥FC,HE=FC,四边形FCEH是平行四边形,

∴EC∥HF,又∵CE不包含于平面PAF,HF平面PAF,

∴CE∥平面PAF.…(4分)

(Ⅱ)解:∵四边形ABCD为平行四边形且∠ACB=90°,

∴CA⊥AD,又由平面PAD⊥平面ABCD,

∴CA⊥平面PAD,∴CA⊥PA

由PA=AD=1,PD= 知,PA⊥AD

∴建立如图所示的平面直角坐标系A﹣xyz

∵PA=BC=1,AB= ,∴AC=1,

∴B(1,﹣1,0),C(1,0,0),P(0,0,1),

假设BC上存在一点G,使得平面PAG和平面PGC所成二面角的大小为60°,

设点G的坐标为(1,a,0),﹣1≤a≤0,

=(0,0,1),

设平面PAG的法向量为 =(x,y,z),

,令x=a,y=﹣1,z=0,∴ =(a,﹣1,0),

=(0,b,0), =(﹣1,0,1),

设平面PCG的法向量为 =(x,y,z),

,令x=1,y=0,z=1,∴ =(1,0,1),…(9分)

∵平面PAG和平面PGC所成二面角的大小为60°,

∴|cos< >|=| |=

∴a=±1,又﹣1≤a≤0,∴a=﹣1,

所以线段BC上存在一点G,

使得平面PAG和平面PGC所成二面角的大小为60°

点G即为B点.


【解析】(1)取PA中点为H,连结CE、HE、FH,由已知得ABCD是平行四边形,四边形FCEH是平行四边形,由此能证明CE∥平面PAF.(2)由已知得CA⊥AD,CA⊥平面PAD,CA⊥PA,建立平面直角坐标系A﹣xyz,利用向量法能求出平面PAG和平面PGC所成二面角的大小.
【考点精析】关于本题考查的直线与平面平行的判定,需要了解平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行;简记为:线线平行,则线面平行才能得出正确答案.

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