Question

设y=f(x)是定义在区间［-1,1］上的函数,且满足条件:

①f(-1)=f(1)=0;

②对任意u,v∈［-1,1］都有|f(u)-f(v)|≤|u-v|.

(1)证明对任意的x∈［-1,1］,都有x-1≤f(x)≤1-x;

(2)证明对任意的u,v∈［-1,1］,都有|f(u)-f(v)|≤1;

(3)在区间［-1,1］上是否存在满足条件的奇函数y=f(x),且使得

若存在,请举一例;若不存在,请说明理由.

Answer 1

(1)证明:由题设条件可知,当x∈［-1,1］,

|f(x)|=|f(x)-f(1)|≤|x-1|=1-x,

即x-1≤f(x)≤1-x.

(2)证明:对任意的u,v∈［-1,1］,

当|u-v|≤1时,有|f(u)-f(v)|≤|u-v|≤1.

当|u-v|＞1时,有u·v＜0.

不妨设u＜0,则v＞0且v-u＞1,

所以|f(u)-f(v)|≤|f(u)-f(-1)|+|f(v)-f(1)|≤|u+1|+|v-1|=1+u+1-v=2-(v-u)＜1.

综上可知,对任意的u,v∈［-1,1］,都有|f(u)-f(v)|≤1.

(3)解析:满足所述条件的函数不存在,理由如下:假设存在函数f(x)满足条件,

则由|f(u)-f(v)|=|u-v|,u,v∈［,1］得

|f()-f(1)|=|-1|=.

又f(1)=0,所以|f()|=.①

又因为f(x)为奇函数,所以f(0)=0.

由条件|f(u)-f(v)|＜|u-v|,u,v∈［0,］得

|f()|=|f()-f(0)|＜.②

①与②矛盾,所以假设不成立,即这样的函数不存在.