Question

已知数列{a_n}的首项a₁=1，前n项之和S_n满足关系式：3tS_n+1-（2t+3）S_n=3t（t＞0，n∈N^*）．
（1）求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）设数列{a_n}的公比为f（t），数列{b_n}满足bn+1=f(

1

bn

)，(n∈N*)，且b₁=1．
（i）求数列{b_n}的通项b_n；
（ii）设T_n=b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-b₄b₅+…+b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1，求T_n．

Answer 1

分析：（1）由已知可得3tS_n-（2t+3）S_n-1=3t（n≥2），两式相减可得数列a_n+1与a_n的递推关系并作商得

an+1

an

=

2t+3

3t

，再验证

a2

a1

=

2t+3

3t

即得证；
（2）由（1）求出f（t），把f（t）的解析式代入b_n，得b_n+1=

2

3

+b_n，判断出{b_n}是一个首项为1，公差为

2

3

的等差数列．进而根据等差数列的通项公式求得答案；
（3）把式子b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-…+b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1化简，根据{b_n}是等差数列，代入前n项和公式，注意公差的变化，再进行化简．

解答：（1）证明：∵3tS_n+1-（2t+3）S_n=3t，
∴3tS_n-（2t+3）S_n-1=3t，（n≥2），
两式相减得3ta_n+1-（2t+3）a_n=0，
又∵t＞0，∴

an+1

an

=

2t+3

3t

（n≥2），
当n=2时，3tS₂-（2t+3）S₁=3t，
即3t（a₁+a₂）-（2t+3）a₁=3t，且a₁=1，
得a₂=

2t+3

3t

，则

a2

a1

=

2t+3

3t

，
即

an+1

an

=

2t+3

3t

对n≥1都成立，
∴{a_n}为以1为首项，

2t+3

3t

为公比的等比数列，
（2）解：由已知得，f（t）=

2t+3

3t

，
∴bn+1=f(

1

bn

)=

2 bn +3

3 bn

=

2+3bn

3

=

2

3

+bn，
即bn+1-bn=

2

3

，
∴{b_n}是一个首项为1，公差为

2

3

的等差数列，
则b_n=1+（n-1）×

2

3

=

2

3

n+

1

3

，
（3）解：T_n=b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-…+b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1?
=b₂（b₁-b₃）+b₄（b₃-b₅）+…+b_2n（b_2n-1-b_2n+1）=-2d（b₂+b₄+…+b_2n）
=-2×

2

3

（b₂+b₄+…+b_2n）=-2×

2

3

[

5

3

n+

n(n-1)

2

×

4

3

]
=-

8

9

n2-

4

3

n．

点评：本题考查了利用递推关系实现数列和与项的相互转化，进而求递推公式，再进行判断数列的特点，考查了等比数列的定义，等差数列的通项公式、前n项和公式的运用，数列的求和等问题，以及运算能力．