Question

设命题p：实数x满足x²-4ax+3a²＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足

x2-x-6≤0 x2+2x-8＞0.

．
（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）若?p是?q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假,必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：简易逻辑

分析：（1）现将a=1代入命题p，然后解出p和q，又p∧q为真，所以p真且q真，求解实数a的取值范围；（2）先由￢p是￢q的充分不必要条件得到q是p的充分不必要条件，然后化简命题，求解实数a的范围．

解答： 解：（1）当a=1时，p：{x|1＜x＜3}，q：{x|2＜x≤3}，又p∧q为真，所以p真且q真，
由

1＜x＜3 2＜x≤3

得2＜x＜3，所以实数x的取值范围为（2，3）
（2）因为￢p是￢q的充分不必要条件，所以q是p的充分不必要条件，
又p：{x|a＜x＜3a}（a＞0），q：{x|2＜x≤3}，所以

a＞0 a≤2 3a＞3

解得1＜a≤2，
所以实数a的取值范围是（1，2]

点评：充要条件要抓住“大能推小，小不能推大”规律去推导．