Question

3．根据条件求双曲线的标准方程．
（1）实轴长为8，离心率5，焦点在y轴上；
（2）焦距为26，两顶点坐标为（0，-5），（0，5）；
（3）渐近线方程为y=±x，且过点M（2，3）；
（4）渐近线方程为y=$±\frac{3}{4}$x，且经过点（-2，3）．

Answer 1

分析 （1）（2）求出几何量，即可求出双曲线的标准方程；
（3）（4）设出方程，即可求出双曲线的标准方程．

解答 解：（1）实轴长为8，离心率5，则a=4，c=5，b=3，焦点在y轴上，双曲线的标准方程$\frac{{y}^{2}}{16}-\frac{{x}^{2}}{9}$=1；
（2）焦距为26，两顶点坐标为（0，-5），（0，5），则c=13，a=5，b=12，双曲线的标准方程$\frac{{y}^{2}}{25}-\frac{{x}^{2}}{144}$=1；
（3）渐近线方程为y=±x，设方程为x²-y²=λ，过点M（2，3）代入可得λ=-5，双曲线的标准方程$\frac{{y}^{2}}{5}-\frac{{x}^{2}}{5}$=1；
（4）渐近线方程为y=$±\frac{3}{4}$x，设方程为9x²-16y²=λ，经过点（-2，3）代入可得λ=-108，双曲线的标准方程$\frac{{y}^{2}}{\frac{27}{4}}-\frac{{x}^{2}}{12}$=1．

点评 本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的性质，属于中档题．