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1.设F1,F2分别是双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P,使得$(\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{O{F_2}})•\overrightarrow{{F_2}P}=0$,其中O为坐标原点,且$|\overrightarrow{P{F_1}}|=3|\overrightarrow{P{F_2}}|$,则该双曲线的离心率为(  )
A.$\sqrt{5}$B.$\sqrt{10}$C.$\frac{{\sqrt{10}}}{2}$D.$\frac{5}{2}$

分析 取PF2的中点A,利用$(\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{O{F_2}})•\overrightarrow{{F_2}P}=0$,可得$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{{F}_{2}P}$,从而可得PF1⊥PF2,利用双曲线的定义及勾股定理,可得结论.

解答 解:取PF2的中点A,则
∵$(\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{O{F_2}})•\overrightarrow{{F_2}P}=0$,
∴$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{{F}_{2}P}$
∵O是F1F2的中点
∴OA∥PF1
∴PF1⊥PF2
∵|PF1|=3|PF2|,
∴2a=|PF1|-|PF2|=2|PF2|,
∵|PF1|2+|PF2|2=4c2
∴10a2=4c2
∴e=$\frac{\sqrt{10}}{2}$
故选C.

点评 本题考查向量知识的运用,考查双曲线的定义,利用向量确定PF1⊥PF2是关键.

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  立体几何题 代数题 总计
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 女同学 8 12 20
 总计 30 20 50
(Ⅰ)能否有97.5%以上的把握认为“喜欢空间想象”与“性别”有关?
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附表及公式
P(K2≥k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001
k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828
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