Question

【题目】已知函数f（x）=1+x﹣ +…+ ，g（x）=1﹣x+ ﹣…﹣ ，设函数F（x）=f（x+4）g（x﹣5），且函数F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z）内，则b﹣a的最小值为（ ）
A.9
B.10
C.11
D.12

Answer 1

【答案】D
【解析】解∵f（0）=1＞0，f（﹣1）=1﹣1﹣ ﹣ ﹣…﹣ ＜0，
∴函数f（x）在区间（﹣1，0）内有零点；
当x∈（﹣1，0）时，f′（x）= ＞0，
∴函数f（x）在区间（﹣1，0）上单调递增，
故函数f（x）有唯一零点x∈（﹣1，0）；
∵g（1）=1﹣1+ ﹣ +…﹣ ＞0，
g（2）=1﹣2+ ﹣ +…+ ﹣ ＜0．
当x∈（1，2）时，f′（x）=﹣1+x﹣x2+x3﹣…+x2016﹣x2017= ＞0，
∴函数g（x）在区间（1，2）上单调递增，故函数g（x）有唯一零点x∈（1，2）；
∵F（x）=f（x+4）g（x﹣5），且函数F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z）内，
∴f（x+4）的零点在（﹣5，﹣4）内，g（x﹣5）的零点在（6，7）内，
因此F（x）=f（x+4）g（x﹣5）的零点均在区间[﹣5，7]内，
∴b﹣a的最小值为7﹣（﹣5）=12．
故选：D．