Question

已知函数的最小正周期为3π，
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）在△ABC中，若f（C）=1，且2sin²B=cosB+cos（A-C），求∠C及sinA的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为2sin（ωx+）-1，根据周期求得ω的值，可得f（x）的解析式2sin（x+）-1，令 2kπ-≤（x+）≤2kπ+，k∈z，
求得x的范围，即可求得函数f（x）的单调递增区间．
（2）在△ABC中，由f（C）=1求得sin（C+）=1，可得 C=，A+B=．再由2sin²B=cosB+cos（A-C）和同角三角函数的基本关系、诱导公式求得sinA的值．
解答：解：（1）已知函数=sinωx+cosωx-1=2sin（ωx+）-1 的最小正周期为3π，
∴=3π，ω=，∴f（x）=2sin（x+）-1．
令 2kπ-≤（x+）≤2kπ+，k∈z，可得 3kπ-π≤x≤3kπ+，k∈z，
故函数f（x）的单调递增区间为[3kπ-π，3kπ+]，k∈z．
（2）在△ABC中，由f（C）=2sin（C+）-1=1，可得sin（C+）=1，∴C=，A+B=．
再由2sin²B=cosB+cos（A-C），可得 2sin²B=cosB+cos（A-）=cosB+sinA=2sinA，∴2cos²A=2sinA，即 1-sin²A=sinA．
解得 sinA=，再由A为锐角可得sinA=．
综上可得，C=，sinA=．
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，复合三角函数的单调性和周期性，同角三角函数的基本关系及诱导公式，属于中档题．