Question

16．设函数f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$，若关于x的方程[f（x）]³-a|f（x）|+2=0有两个不等实根，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （0，1）
• B． （1，3）
• C． （-1，3）
• D． （3，∞）

Answer 1

分析 首先确定函数f（x）的值域，再换元分离出参数a，最后结合函数图象得出结果．

解答 解：先求函数y=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$的值域，
分离2^x=$\frac{1+y}{1-y}$＞0，解得y∈（-1，1），
即f（x）的值域为（-1，1），且在R上单调递增，
令t=f（x）∈（-1，1），
原方程[f（x）]³-a|f（x）|+2=0分离参数a得，
a=g（t）=$\frac{t^3+2}{|t|}$=$\left\{\begin{array}{l}{t^2+\frac{2}{t}，t∈（0，1）}\\{-t^2-\frac{2}{t}，t∈（-1，0）}\end{array}\right.$，如右图（实线），
所以，要使原方程有两个实数根，
则直线y=a与函数g（t）=$\frac{t^3+2}{|t|}$的图象有两个交点，
由图可知，a∈（3，+∞），
故选：D．

点评 本题主要考查了方程根个数的确定，涉及函数的图象与性质的应用，运用了换元法，数形结合等解题思想，属于中档题．