精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
2.已知Sn是数列{an}的前n項和,且a1=1,nan+1=2Sn(n∈N*).
(1)求a2,a3,a4的值;
(2)求数列{an}的通项an
(3)设数列{bn}满足bn=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n},n=1}\\{(2{a}_{n}-1)•{2}^{n},n≥2}\end{array}\right.$.求数列{bn}的前n项和Tn

分析 (1)通过a1=1、nan+1=2Sn(n∈N*)直接代入计算即可;
(2)当n>1时利用nan+1-(n-1)an=2Sn-2Sn-1可知nan+1=(n+1)an,进而$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n+1}{n}$,利用累乘法计算并验证当n=1时亦成立即可;
(3)通过an=n、bn=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n},n=1}\\{(2{a}_{n}-1)•{2}^{n},n≥2}\end{array}\right.$可知当n≥2时bn=(2n-1)•2n,利用错位相减法计算即得结论.

解答 解:(1)∵a1=1,nan+1=2Sn(n∈N*),
∴a2=2a1=2,
∴2a3=2(a1+a2),
∴a3=a1+a2=1+2=3,
∴3a4=2(a1+a2+a3),
∴a4=$\frac{2}{3}$(1+2+3)=4;
(2)当n>1时,由nan+1=2Sn得(n-1)an=2Sn-1
∴nan+1-(n-1)an=2Sn-2Sn-1=2an
化简得:nan+1=(n+1)an
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n+1}{n}$,
∵a2=2,
∴$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=$\frac{3}{2}$,
$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$=$\frac{4}{3}$,

$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n}{n-1}$,
以上(n-1)个式子相乘得:an=$2×\frac{3}{2}×\frac{4}{3}×$…×$\frac{n}{n-1}$=n,
又a1=1满足上式,
∴an=n;
(3)∵an=n,bn=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n},n=1}\\{(2{a}_{n}-1)•{2}^{n},n≥2}\end{array}\right.$,
∴当n≥2时,bn=(2n-1)•2n
∴Tn=1+3×22+5×23+7×24+…+(2n-3)×2n-1+(2n-1)×2n
∴2Tn=2+3×23+5×24+…+(2n-3)×2n+(2n-1)×2n+1
两式相减得:-Tn=11+2(22+23+24+…+2n)-(2n-1)×2n+1
=11+2×$\frac{{2}^{3}(1-{2}^{n-2})}{1-2}$-(2n-1)×2n+1
=-5-(2n-3)×2n+1
∴Tn=5+(2n-3)×2n+1

点评 本题考查数列的通项及前n项和,考查运算求解能力,注意解题方法的积累,属于中档题.

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

12.设数列{an}的前n项和为Sn=$\frac{4}{3}$an-2n+1,n=1,2,3….
(1)令bn=an+3•2n-1,求证:{bn}为等比数列,并求出{an};
(2)设cn=$\frac{{2}^{n}}{{S}_{n}+47}$,n=1,2,3…,求cn的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

13.已知f(x)=mx-lnx(0<x≤e),g(x)=$\frac{lnx}{x}$,其中e是自然对数的底数,m∈R.
(1)当m=1时,求函数f(x)的单调区间和极值;
(2)求证:当m=1时,f(x)>g(x)+1-$\frac{1}{e}$;
(3)是否存在实数m,使f(x)的最小值是2?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

10.已知关于x的方程(n+1)x2+mx-$\frac{n-1}{4}$=0(m,n∈R+)没有实数根,则关于x的方程4x2-4x+m+n=0有实数根的概率是(  )
A.$\frac{2}{7π}$B.$\frac{2}{5π}$C.$\frac{2}{3π}$D.$\frac{2}{π}$

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

17.若函数f(x)=2|sinx|+sinx,(x∈[0,2π])的图象与直线y=k有且仅有四个不同的交点,则k的取值范围是(0,1).

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

7.设函数f(x)=|2x-1|,x∈R.
(1)解关于x的不等式f(x)≤3;
(2)若不等式f(x)≤a的解集为{x|0≤x≤1},求a的值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

14.已知向量$\overrightarrow a=({1,-1})$,$\overrightarrow b=({1,2})$,向量$\overrightarrow c$满足$({\overrightarrow c+\overrightarrow b})⊥\overrightarrow a$,$({\overrightarrow c-\overrightarrow a})∥\overrightarrow b$,则$\overrightarrow c$等于(  )
A.(1,0)B.(2,1)C.(0,-1)D.$({\frac{3}{2},\frac{1}{2}})$

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

11.在对人们休闲方式的一次调查中,共调查了50人,其中女性25人,男性25人,女性中20人主要的休闲方式是看电视,另外5人主要的休闲方式是运动,男性中有10人主要的休闲方式是看电视,另外5人主要的休闲方式是运动,2×2列联表如下:
  看电视运动  合计
 女性 2025 
 男性 10 15 25
 合计 30 20 50
参考公式:K2=$\frac{n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$其中(n=a+b+c+d)
附表:独立性检验临界值如下:
 P(K2≥k00.05 0.025 0.010 0.005 0.001 
 k0 3.84 5.0246.635 7.879 10.83 
参照附表,得到的正确结论是(  )
A.有99.5%以上的把握认为“休闲方式与性别有关”
B.有99.5%以上的把握认为“休闲方式与性别无关”
C.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“休闲方式与性别有关”
D.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“休闲方式与性别无关”

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

12.若函数y=cos(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如图,则ω=(  )
A.2B.4C.3D.6

查看答案和解析>>

同步练习册答案