Question

（本小题满分14分）已知函数处取得极值2。
(Ⅰ)求函数的表达式；
（Ⅱ）当满足什么条件时，函数在区间上单调递增？
（Ⅲ）若为图象上任意一点，直线与的图象切于点P，求直线的斜率的取值范围

Answer 1

(Ⅰ)。
（Ⅱ）当时，函数在区间上单调递增。
（Ⅲ）直线的斜率的取值范围是。

解析试题分析：(Ⅰ)因为     ·········2分
而函数在处取得极值2，
所以， 即 解得 
所以即为所求          ············4分
（Ⅱ）由（1）知
令得：
则的增减性如下表：

	（-∞，-1）	（-1，1）	（1，+∞）
	负	正	负

可知，的单调增区间是[-1，1]，    ·····6分
所以
所以当时，函数在区间上单调递增。  ·········9分
（Ⅲ）由条件知，过的图象上一点P的切线的斜率为：
          11分
令，则，
此时，的图象性质知：
当时，；
当时，
所以，直线的斜率的取值范围是   ···········14分
考点：本题主要考查导数的几何意义，利用导数研究函数的极值及单调性。
点评：典型题，过的图象上一点P的切线的斜率为函数在该点的导数值。利用导数研究函数的单调性，主要导函数值的正负。