Question

已知圆M：x²+（y-4）²=1，直线l：2x-y=0，点P在直线l上，过点P作圆M的切线PA、PB，切点为A、B．
（Ⅰ）若∠APB=60°，求P点坐标；
（Ⅱ）若点P的坐标为（1，2），过P作直线与圆M交于C、D两点，当|CD|=

2

时，求直线CD的方程；
（Ⅲ）求证：经过A、P、M三点的圆与圆M的公共弦必过定点，并求出定点的坐标．

Answer 1

分析：（I）由条件可知|PM|=2，建立方程，可求P点坐标；
（Ⅱ）由条件可知圆心到直线CD的距离d=

2

2

，设直线CD的方程，可得结论；
（Ⅲ）经过A、P、M三点的圆与圆M相减，可得公共弦，即可求出结论．

解答：解：（Ⅰ）由条件可知|PM|=2，设P（a，2a），则|PM|=

a2+(2a-4)2

=2
解得a=2或a=1.2，所以P（2，4）或P（1.2，2.4）…（4分）
（Ⅱ）由条件可知圆心到直线CD的距离d=

2

2

，设直线CD的方程为y-2=k（x-1），
则

|k+2|

k2+1

=

2

2

，解得k=-7或k=-1；
所以直线CD的方程为x+y-3=0或7x+y-9=0…（8分）
（III）设P（a，2a），过A，P，M三点的圆即以PM为直径的圆，其方程为x（x-a）+（y-4）（y-2a）=0
与x²+（y-4）²=1相减可得（4-2a）y-ax+8a-15=0
即（-x-2y+8）a+4y-15=0
由

4y-15=0 -x-2y+8=0

，可得

x= 1 2 y= 15 4

∴经过A、P、M三点的圆与圆M的公共弦必过定点（

1

2

，

15

4

）．

点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查两圆的公共弦，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．