Question

为庆祝杭州第二中学第111周年校庆，某同学利用校徽排列出了下列（1）、（2）、（3）、（4）四个图形，分别包含1个、5个、13个、25个校徽，按同样的方式构造图形，设第n（n∈N*）个图形包含f（n）个校徽，则f（n）=________．

Answer 1

解：∵f（1）=1，f（2）=5，f（3）=13，f（4）=25
∴f（2）-f（1）=4=4×1，f（3）-f（2）=8=4×2，f（4）-f（3）=12=4×3
由此归纳出：f（n）-f（n-1）=4=4×（n-1）
接下来列出
f（2）-f（1）=4=4×1
f（3）-f（2）=8=4×2
f（4）-f（3）=12=4×3
…
f（n）-f（n-1）=4=4×（n-1）
累加，得f（n）-f（1）=4[1+2+3+…+（n-1）]=4×=4n（n-1）
∴f（n）=4n（n-1）+f（1）=4n²-4n+1
故答案为：4n²-4n+1
分析：观察四个图形中校徽的个数，发现相邻两项当中，用后项减去前项，所得的数可以构成一个等差数列．因此可以用逐项作差，再累加的方法，用等差数列求和的公式，求出f（n）的值．
点评：本题以数列模型为例，考查了归纳推理、等差数列的通项与求和等知识点，属于中档题．