Question

14．已知关于x的函数y=mx²-x-（m-1）．
（1）m=0时，y=mx²-x-（m-1）是一次函数；
（2）求证：对任何实数m，y=mx²-x-（m-1）的图象与x都有公共点；
（3）若是关于x的二次函数y=mx²-x-（m-1）的图象与x有两个不同的公共点A、B （点A在点B左边），图象顶点为C，且△ABC是等腰直角三角形，求m的值；
（4）是否存在这样的点P，使得对任何实数m，y=mx²-x-（m-1）的图象都经过P点？若存在，求出所有P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）若y=mx²-x-（m-1）是一次函数，则二次项系数m=0；
（2）分m=0时和m≠0时两种情况，结合一次函数和二次函数性质，可得结论；
（3）求出AB及顶点C的纵坐标，结合△ABC是等腰直角三角形，则AB=2|y_c|构造方程，解得m的值；
（4）利用特值法确定定点坐标，检验后可得结论．

解答 解：（1）若y=mx²-x-（m-1）是一次函数，则m=0；
（2）证明：m=0时，y=-x+1与x轴交于点（1，0）
m≠0时，△=（-1）²+4m（m-1）=（2m-1）²≥0
∴对任何实数m，y=mx²-x-（m-1）的图象与x都有公共点；
（3）由mx²-x-（m-1）=0得x₁=1，${x_2}=-\frac{m-1}{m}$，
∴AB=|1+$\frac{m-1}{m}$|=|$\frac{2m-1}{m}$|，
且顶点C的纵坐标${y_c}=\frac{-4m（m-1）}{4m}=\frac{{{{（2m-1）}^2}}}{4m}$
∵△ABC是等腰直角三角形
∴AB=2|y_c|即$|{\frac{2m-1}{m}}|=2|{\frac{{{{（2m-1）}^2}}}{4m}}|$
∴m=$\frac{1}{2}$或m=$\frac{3}{2}$，或m=-$\frac{1}{2}$
经检验m=$\frac{3}{2}$，或m=-$\frac{1}{2}$
（4）由m=0得y=-x+1，m=1得y=x²-x
由$\left\{\begin{array}{l}y=-x+1\\ y={x^2}-x\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=0\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=2\end{array}\right.$对任何实数m
当x=1时，y=mx²-x-（m-1）=m-1-（m-1）=0
当x=-1时，y=mx²-x-（m-1）=m+1-（m-1）=2
对任何实数m，y=mx²-x-（m-1）的图象都经过点（1，0）（-1，2）
即所求点P的坐标为（1，0）或（-1，2），
故答案为：0．

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了一次函数和二次函数性质，方程思想，存在性问题，难度中档．