【题目】如图:椭圆与双曲线
有相同的焦点
、
,它们在
轴右侧有两个交点
、
,满足
.将直线
左侧的椭圆部分(含
,
两点)记为曲线
,直线
右侧的双曲线部分(不含
,
两点)记为曲线
.以
为端点作一条射线,分别交
于点
,交
于点
(点
在第一象限),设此时
.
(1)求的方程;
(2)证明: ,并探索直线
与
斜率之间的关系;
(3)设直线交
于点
,求
的面积
的取值范围.
【答案】(1)(2)见解析(3)
【解析】试题分析:(1)根据椭圆方程求出右焦点,根据
得到
、
关于
轴对称,所以求出
,
,所以求出双曲线的方程;(2)设
,得
,
,由
,得
,即
,又因为
分别在曲线
和
上,有,
,消去
,得,
(*),所以
点坐标为
,
.所以直线
的斜率
,直线
的斜率
.所以
与
斜率之和为零;(3)由(2)知直线
与
关于
轴对称,结合椭圆的对称性知点
与点
关于
轴对称,故
,所以
,利用函数单调求出
的范围。
试题解析:(1)由条件,得,根据
知,
、
、
三点共线,
且由椭圆与双曲线的对称性知, 、
关于
轴对称,
故所在直线为
,从而得
,
.
所以, ,又因为
为双曲线的焦点,所以
,
解得.
因此, 的方程为
.
(2)由
,得
,
,
由条件,得,即
,
由
分别在曲线
和
上,有,
,消去
,得,
(*),
将代入方程(*),成立,因此(*)有一根
,结合韦达定理得另一根为
,因为
,所以
,舍去.
所以, .
从而点坐标为
.
所以,直线的斜率
,
由,得
.
所以,直线的斜率
.
因此, 与
斜率之和为零.
(3)由(2)知直线与
关于
轴对称,结合椭圆的对称性知点
与点
关于
轴对称,故
,
因此,
,
,
因为在
上单调递增,
所以的取值范围是
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】函数f(x)=(cosx﹣sinx)sin(x+
)﹣2asinx+b(a>0).
(1)若b=1,且对任意 , 恒有f(x)>0,求a的取值范围;
(2)若f(x)的最大值为1,最小值为﹣4,求实数a,b的值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图1, 在直角梯形中,
,
,
,
为线段
的中点. 将
沿
折起,使平面
平面
,得到几何体
,如图2所示.
(1)求证: 平面
;
(2)求二面角的余弦值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】(本小题满分13分)已知函数(
为常数,
)
(1)若是函数
的一个极值点,求
的值;
(2)求证:当时,
在
上是增函数;
(3)若对任意的,总存在
,使不等式
成立,求正实数
的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】现有正整数构成的数表如下:
第一行:1
第二行:1 2
第三行:1 1 2 3
第四行:1 1 2 1 1 2 3 4
第五行:1 1 2 1 1 2 3 1 1 2 1 1 2 3 4 5
…… …… ……
第行:先抄写第1行,接着按原序抄写第2行,然后按原序抄写第3行,...,直至按原序抄写第
行,最后添上数
.(如第四行,先抄写第一行的数1,接着按原序抄写第二行的数1,2,接着按原序抄写第三行的数1,1,2,3,最后添上数4).
将按照上述方式写下的第个数记作
(如
)
(1)用表示数表第
行的数的个数,求数列
的前
项和
;
(2)第8行中的数是否超过73个?若是,用表示第8行中的第73个数,试求
和
的值;若不是,请说明理由;
(3)令,求
的值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图所示的是一个几何体的直观图和三视图(其中正视图为直角梯形,俯视图为正方形,侧视图为直角三角形).
(1)求四棱锥P-ABCD的体积;
(2)若G为BC上的动点,求证:AE⊥PG.
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