Question

如图，已知矩形ABCD中，AB=1,BC=，PA平面ABCD，且PA=1。
(1)问BC边上是否存在点Q，使得PQQD?并说明理由；
(2)若边上有且只有一个点Q，使得PQQD,求这时二面角Q的正切。

Answer 1

(1) (i)当时，BC上存在点Q,使PQQD；
(ii)当时，BC上不存在点Q，使PQQD。
(2)

(1)(如图)以A为原点建立空间直角坐标系,设，
则Q,P(0,0,1),D得,
由,有,得         ①
若方程①有解,必为正数解，且小于。
由,,得。
(i)当时，BC上存在点Q,使PQQD；
(ii)当时，BC上不存在点Q，使PQQD。
(2)要使BC边上有且只有一个点Q,使PQQD,则方程①有两个相等的实根,
这时,，得,有。
又平面APD的法向量，设平面PQD的法向量为
而，，
由,得，解得
有，则，则。
所以二面角的正切为