Question

【题目】已知函数f（x）=x2+alnx． （Ⅰ）当a=﹣2时，求函数f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）若g（x）=f（x）+ 在[1，+∞）上是单调增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=x2+alnx，∴函数f（x）的定义域为（0，+∞）． 当a=﹣2时， = ．
当x变化时，f′（x）和f（x）的值的变化情况如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	﹣	0	+
f（x）	递减	极小值	递增

由上表可知，函数f（x）的单调递减区间是（0，1）、单调递增区间是（1，+∞）、极小值是f（1）=1．
（Ⅱ） 由g（x）=x2+alnx+ ，得 ．
若函数g（x）为[1，+∞）上的单调增函数，则g′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，
即不等式2x﹣ + ≥0在[1，+∞）上恒成立．
也即a≥ 在[1，+∞）上恒成立．
令φ（x）= ，则φ′（x）=﹣ ．
当x∈[1，+∞）时，φ′（x）=﹣ ﹣4x＜0，
∴φ（x）= 在[1，+∞）上为减函数，∴φ（x）max=φ（1）=0．
∴a≥0．
∴a的取值范围为[0，+∞）
【解析】（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．当a=﹣2时， = ，由此利用导数性质能求出函数f（x）的单调区间和极值．（Ⅱ） 由g（x）=x2+alnx+ ，得 ，令φ（x）= ，则φ′（x）=﹣ ．由此利用导数性质能求出a的取值范围．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能正确解答此题．