【题目】已知空间9点集,其中任意四点不共面.在这9个点间联结若干条线段,构成一个图G,使图中不存在四面体.问图G中最多有多少个三角形?
【答案】27
【解析】
在一个n个点的空间图中不存在三角形,则其边数不超过.
证明:设这n个点为,其中从引出的边数最多,不妨设共有k条:.依条件,不存在三角形,那么,点之间没有边相连.从而,空间图中每条边均至少有一个端点为中的点而每个至多引出k条边.因此,总边数小于或等于k
下面证明空间9点集M中,若任意4点不共面,在这9点间联结若干条线段,如果图G中已有(至少)28个三角形,则至少有一个四面体.
用反证法.
假设不存在一个四面体,在9点集中,由抽屉原理知,其中必有一点为至少个三角形的顶点.从而,由这个点至少引出5条边,设这个点为
(1).若从点引出5条边,依题意,由于没有四面体,那么,由这5个点构成的子图中没有三角形.由前面的结论知,这个子图中至多有条边.从而.以为顶点的三角形至多有6个,矛盾.
(2)若从点引出6条边,类似(1),至多有个三角形以为顶点,矛盾.
(3)若从点引出7条边,由于没有四面体,可知这7个点构成的子图中没有三角形,这个子图至多有条边.从而,以为顶点的三角形至多有12个,不以为顶点的三角形必以点为一个顶点.类似地也至多有12个三角形,那么,三角形总数小于或等于12×2-24<28,矛盾.
(4)若从点引出8条边,这时,,A这8个点构成的子图中没有三角形.由前面的结论知,至多有条边.从而,原图G中至多有16个三角形,矛盾.
于是,满足要求的三角形至多有27个.
将9点集M分成三组,,,使同组中任两点不连线,而不同组中的两点均连线,这样有个三角形,当然没有四面体.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】2018年1月31日晚上月全食的过程分为初亏、食既、食甚、生光、复圆五个阶段,月食的初亏发生在19时48分,20时51分食既,食甚时刻为21时31分,22时08分生光,直至23时12分复圆全食伴随有蓝月亮和红月亮,全食阶段的“红月亮”将在食甚时刻开始,生光时刻结束,一市民准备在19:55至21:56之间的某个时刻欣赏月全食,则他等待“红月亮”的时间不超过30分钟的概率是
A. B. C. D.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,A(x1,y1),B(x2,y2)是过F的直线与抛物线的两个交点,求证:
(1)y1y2=-p2,;(2)为定值;
(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】曲线的参数方程为(t为参数),以原点为极点,轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,曲线关于对称.
(1)求极坐标方程,直角坐标方程;
(2)将向左平移4个单位长度,按照变换得到与两坐标轴交于两点,为上任一点,求的面积的最大值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某电视台举行一个比赛类型的娱乐节目,两队各有六名选手参赛,将他们首轮的比赛成绩作为样本数据,绘制成茎叶图如图所示,为了增加节目的趣味性,主持人故意将队第六位选手的成绩没有给出,并且告知大家队的平均分比队的平均分多4分,同时规定如果某位选手的成绩不少于21分,则获得“晋级”.
(1)根据茎叶图中的数据,求出队第六位选手的成绩;
(2)主持人从队所有选手成绩中随机抽2个,求至少有一个为“晋级”的概率;
(3)主持人从两队所有选手成绩分别随机抽取2个,记抽取到“晋级”选手的总人数为,求的分布列.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,四面体ABCD中,平面DAC⊥底面ABC,,AD=CD=,O是AC的中点,E是BD的中点.
(1)证明:DO⊥底面ABC;
(2)求二面角D-AE-C的余弦值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】下列说法错误的是( )
A.在回归直线方程中,当解释变量x每增加1个单位时,预报变量平均增加个单位.
B.对分类变量X与Y,随机变量的观测值k越大,则判断“X与Y有关系”的把握程度越小.
C.两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数的绝对值就越接近于1.
D.回归直线过样本点的中心.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com