【题目】已知函数,函数 (a>0),
若存在,使得成立,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵,
①当x∈[0, ]时,f(x)= 在R上是单调递减函数,
∴f()f(x)f(0),即0f(x) ,
∴f(x)的值域为[0, ];
②当x∈(,1]时,f(x)= ,
∴f′(x)= =,
∴当x>时,f′(x)>0,即f(x)在(,+∞)上单调递增,
∴f(x)在(,1]上单调递增,
∴f()<f(x)f(1),即<f(x)1,
∴f(x)的值域为[,1].
综合①②,f(x)的值域为[0,1].
∵g(x)=asin()2a+2,(a>0),且x∈[0,1],
∴0x,则0sin(x) ,
∵a>0,则0asin(x) a,
∴22ag(x)2a,
∴g(x)的值域为[22a,2a],
∵存在x1,x2∈[0,1],使得f(x1)=g(x2)成立,
∴[0,1]∩[22a,2a]≠,
若[0,1]∩[22a,2a]=,则2a<0或22a>1,
∴a<或a>,
∴当[0,1]∩[22a,2a]≠时,a的取值范围为[12, ],
∴实数a的取值范围是[,].
故答案为:D.
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【题目】已知函数的定义域为,对任意实数,都有.
(1)若, ,且,求, 的值;
(2)若为常数,函数是奇函数,
①验证函数满足题中的条件;
②若函数求函数的零点个数.
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【题目】某学校为了实现60万元的生源利润目标,准备制定一个激励招生人员的奖励方案:在生源利润达到5万元时,按生源利润进行奖励,且资金y(单位:万元)随生源利润x(单位:万元)的增加而增加,但资金总数不超过3万元,同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型:y=0.2x,y=log5x,y=1.02x,其中哪个模型符合该校的要求?
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【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,AB⊥AD,AB∥CD,AB=2AD=2CD=2,E是PB的中点.
(1)求证:平面EAC⊥平面PBC;
(2)若二面角P-AC-E的余弦值为,求直线PA与平面EAC所成角的正弦值.
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【题目】一家医药研究所,从中草药中提取并合成了甲、乙两种抗“病毒”的药物,经试验,服用甲、乙两种药物痊愈的概率分别为.现已进入药物临床试用阶段,每个试用组由4位该病毒的感染者组成,其中2人试用甲种抗病毒药物,2人试用乙种抗病毒药物,如果试用组中,甲种抗病毒药物治愈人数超过乙种抗病毒药物的治愈人数,则称该组为“甲类组”.
(1)求一个试用组为“甲类组”的概率;
(2)观察3个试用组,用表示这3个试用组中“甲类组”的个数,求的分布列和数学期望.
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【题目】某地区2008年至2014年中,每年的居民人均纯收入y(单位:千元)的数据如下表:
年 份 | 2008 | 2009 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 |
年份代号t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
人均纯收入y | 2.7 | 3.6 | 3.3 | 4.6 | 5.4 | 5.7 | 6.2 |
对变量t与y进行相关性检验,得知t与y之间具有线性相关关系.
(1)求y关于t的线性回归方程;
(2)预测该地区2017年的居民人均纯收入.
附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
,
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