Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N分别是棱AB，BC上异于端点的点，
（1）证明△B₁MN不可能是直角三角形；
（2）如果M，N分别是棱AB，BC的中点，
（ⅰ）求证：平面B₁MN⊥平面BB₁D₁D；
（ⅱ）若在棱BB₁上有一点P，使得B₁D∥面PMN，求B₁P与PB的比值．

Answer 1

分析：（1）对于确定性问题，我们可以使用反证明来进行证明，假设△B₁MN是直角三角形，然后根据正方体的几何特征，及线面垂直的判定及性质我们易得到△B₁MN中会出现两个直角，从而得到矛盾，进而得到原结论△B₁MN不可能是直角三角形；
（2）连接MN，设MN∩BD=Q，（ⅰ）由正方形的几何性质，我们易得AC⊥BD，MN⊥BD，则DD₁⊥面ABCD，再由DD₁⊥MN，结合线面垂直的判定定理，即可得到平面B₁MN⊥平面BB₁D₁D；（ⅱ）连接PM，PN，由B₁D∥面PMN，由线面平行的性质，我们易得BD₁∥PQ，然后根据平行线分线段成比例定理，得到B₁P与PB的比值．

解答：解：（1）用反证法．如果△B₁MN是直角三角形，
不妨设∠B1MN=

π

2

，则MN⊥B₁M，（1分）
而B₁B⊥面ABCD，MN?面ABCD，∴B₁B⊥MN，B₁B∩B₁M=B₁，∴MN⊥面ABB₁A₁，∵AB?面ABB₁A₁，（2分）∴MN⊥AB，即∠BMN=

π

2

，与∠MBN=

π

2

矛盾！（3分）∴△B₁MN不可能是直角三角形．（4分）
（2）连接MN，设MN∩BD=Q则MN∥AC（5分）
∴AC⊥BD，MN⊥BD（7分）
又∵DD₁⊥面ABCD∴DD₁⊥MN
∴平面B₁MN⊥面BDD₁（9分）
（3）连接PM，PN则面PMN∩面BDD₁=PQ（10分）
当BD₁∥PQ时，BD₁∥面PMN（11分）
又M，N分别是AB，BC中点

BQ

QD

=

1

3

；

D1P

PD

=

BQ

QD

=

1

3

．

点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定、三角形的形状判断，直线与平面平行的判定及反证法，掌握正方体的几何特征，及空间线面垂直、平行的判定、性质是解答本题的关键．