Question

【题目】数列{an}的前n项和为Sn ， Sn=2an﹣n（n∈N*）．
（1）求证：数列{an+1}成等比数列；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）数列{an}中是否存在连续三项可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的三项；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：因为Sn=2an﹣n，

当n=1时，a1=S1=2a1﹣1，解得a1=1，

因为Sn=2an﹣n，

所以Sn+1=2an+1﹣（n+1），

则an+1=2an+1﹣2an﹣1，

所以an+1=2an+1，

所以an+1+1=2（an+1）

数列{an+1}是首项和公比均为2的等比数列；

（2）解：由（1）知，数列{an+1}是等比数列，

所以an+1=22n﹣1=2n，

所以an=2n﹣1．

（3）解：假设存在k，k+1，k+2∈N*，使得ak，ak+1，ak+2成等差数列，

则2ak+1=ak+ak+2，即2（2k+1﹣1）=2k﹣1+2k+2﹣1，

即2k+2=2k+2k+2，即有2k=0，这与2k＞0矛盾，

故数列{an}中不存在连续三项可以构成等差数列．

【解析】（1）当n=1时，a1=S1 ， 由条件求得首项，根据an+1=Sn+1﹣Sn ， 求得an+1+1=2（an+1），判断出数列{an+1}是等比数列；（2）利用等比数列的通项公式求得an+1，进而求得an；（3）设存在k，k+1，k+2∈N* ， 使得ak ， ak+1 ， ak+2成等差数列，根据等差中项的性质，化简整理，结合指数函数的值域，即可判断存在性．
【考点精析】本题主要考查了等比数列的通项公式（及其变式）和数列的通项公式的相关知识点，需要掌握通项公式：；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能正确解答此题．