Question

在如图所示的多面体中，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长均为2，四边形ABCD是菱形．
（1）求证：AD⊥平面BCC₁B₁
（2）求该多面体的体积．

Answer 1

分析：（1）通过证线线垂直⇒线面垂直即可．
（2）几何体是一个三棱柱与四棱锥的组合体，分别判定几何体的底面与高，根据公式求解即可．

解答：解：（1）证明：∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∴BB₁⊥AD
∵四边形ABDC是菱形，∴AD⊥BC
又BB₁，BC?平面BB₁C₁C，且BC∩BB₁=B
∴AD⊥平面BCC₁B₁
（2）正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积为V_棱柱=S_△ABC×AA₁=

1

2

×2×2×

3

2

×2=2

3

；
∵AD⊥平面BCC₁B₁，∴四棱锥D-B₁C₁CB的高为

1

2

AD
∴四棱锥D-B₁C₁CB的体积为V_棱锥=

1

3

×2×2×

3

=

4

3

3

∴该多面体的体积V=V_棱锥+V_棱柱=

10

3

3

．

点评：本题考查线面垂直的判定与空间几何体的体积．V_椎体=

1

3

Sh，V_柱体=Sh．