Question

（理科做）：已知：如图，△ABC的边BC长为16，AC、AB边上中线长的和为30．
求：（I）△ABC的重心G的轨迹；
（II）顶点A的轨迹方程．

Answer 1

分析：（I）设重心G点坐标为（x，y），以BC所在的直线为X轴，BC中点为原点建立直角坐标系．根据重心分中线比为2：1可知|GC|+|GB|=30×

2

3

根据椭圆的定义可知G点的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，且除去轴上两点．进而求得椭圆的a，c和b得到G的轨迹方程；
（II）设A点坐标为（u，v），根据重心分中线比为2：1，可得x与u，y与v的关系，代入G的轨迹方程进而可得A的轨迹方程．

解答：解：（I）以BC所在的直线为X轴，BC中点为原点建立直角坐标系．
设G点坐标为（x，y），
∵重心分中线比为2：1
∴|GC|+|GB|=30×

2

3

=20，
根据椭圆的定义可知G点的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，且除去轴上两点．
因a=10，c=8，有b=6，故其方程为

x2

100

+

y2

36

=1（y≠0）
（II）设A点坐标为（u，v）
则x=

u

3

，y=

v

3

，把（3u，3v）代入G的方程得

u2

900

+

v2

324

=1（y≠0）

故顶点A的轨迹为得

x2

900

+

y2

324

=1（y≠0）

点评：本题主要考查了轨迹方程的问题．本题解题的关键是利用了椭圆的定义求得轨迹方程．考查转化思想．