Question

5．已知命题P：：直线mx-y+2=0与圆x²+y²-2x-4y+$\frac{19}{4}$=0有两个交点；命题：$q：?{x_0}∈[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{4}}]，2sin（{2{x_0}+\frac{π}{6}}）+2cos2{x_0}$≤m．
（1）若p∧q为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若p∧q为真命题，则命题p，q均为真命题，进而可得实数m的取值范围；
（2）若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p，q一真一假，进而可得实数m的取值范围．

解答 解：∵${x^2}+{y^2}-2x-4y+\frac{19}{4}=0$，∴${（{x-1}）^2}+{（{y-2}）^2}=\frac{1}{4}$，
所以该圆的圆心为（1，2），半径为$\frac{1}{2}$，圆心到直线的距离$d=\frac{{|{m-2+2}|}}{{\sqrt{1+{m^2}}}}=\frac{|m|}{{\sqrt{1+{m^2}}}}$．
若p为真，则圆心到直线的距离小于半径，即$\frac{|m|}{{\sqrt{1+{m^2}}}}＜\frac{1}{2}$，解得$-\frac{{\sqrt{3}}}{3}＜m＜\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
若q为真，则$m≥2sin（{2x+\frac{π}{6}}）+2cos2x$在$[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{4}}]$上有解，
因为$2sin（{2x+\frac{π}{6}}）+2cos2x=2sin2xcos\frac{π}{6}+2cos2xsin\frac{π}{6}+2cos2x=\sqrt{3}sin2x+3cos2x=2\sqrt{3}sin（{2x+\frac{π}{3}}）$，又由$x∈[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{4}}]$，得$0≤2x+\frac{π}{3}≤\frac{5π}{6}$，
所以$0≤2\sqrt{3}sin（{2x+\frac{π}{3}}）≤2\sqrt{3}$，
即$0≤2sin（{2x+\frac{π}{6}}）+2cos2x≤2\sqrt{3}$，故若q为真，则m≥0…（6分）
（1）若p∧q为真，则应满足$\left\{{\begin{array}{l}{-\frac{{\sqrt{3}}}{3}＜m＜\frac{{\sqrt{3}}}{3}}\\{m≥0}\end{array}}\right.$，即$0≤m＜\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
故实数m的取值范围为$[{0，\frac{{\sqrt{3}}}{3}}）$…（8分）
（2）若p∧q为真命题，p∧q为假命题，则p，q一真一假，
若p真q假，则应满足$\left\{{\begin{array}{l}{-\frac{{\sqrt{3}}}{3}＜m＜\frac{{\sqrt{3}}}{3}，即-\frac{{\sqrt{3}}}{3}＜m＜0}\\{m＜0}\end{array}}\right.$，
若p假q真，则应满足$\left\{{\begin{array}{l}{m≤-\frac{{\sqrt{3}}}{3}或m≥\frac{{\sqrt{3}}}{3}，即m≥\frac{{\sqrt{3}}}{3}}\\{m≥0}\end{array}}\right.$
综上所述，实数m的取值范围为$（{-\frac{{\sqrt{3}}}{3}，0}）∪[{\frac{{\sqrt{3}}}{3}，+∞}）$…（12分）

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了直线与圆的位置关系，三角函数的图象和性质，复合命题等知识点，难度中档．