【题目】如图,在平行四边形中,
°,四边形
是矩形,
,平面
平面
.
(1)若,求证:
;
(2)若二面角的正弦值为
,求
的值.
【答案】(1)见解析;(2)或
.
【解析】分析:连接,在
中,利用余弦定理和勾股定理,得到
,再由四边形
为矩形,得到
,进而得到
,
,利用线面垂直的判定定理证得
面
,即可证得
;
(2)以为原点,
所在的直线为
轴,建立空间直角坐标系,求解平面
和平面
的法向量,利用向量的夹角公式,即可求解二面角的余弦值,即可求解
的值.
详解:(1)连接,在
中,由
,由余弦定理易得
,又
,则
;同理由余弦定理易得:
,由四边形
是矩形,则
,又平面
平面
,所以
平面
,所以
,同理
,由勾股定理易求得
,
,显然
,故
;
由,所以
面
,所以
,所以
面
,所以
;
(2)以点为原点,
所在的直线分别为
轴,
轴,过点
与平面
垂直的直线
轴建立空间直角坐标系,则
设平面的法向量为
,则
,即
,
取,则
,即
,
同理可求得平面的法向量为
设二面角的平面角为,则
则,即
,解之得
或
,又
,
所以或
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在三棱柱ABC-中,
平面ABC,D,E,F,G分别为
,AC,
,
的中点,AB=BC=
,AC=
=2.
(Ⅰ)求证:AC⊥平面BEF;
(Ⅱ)求二面角B-CD-C1的余弦值;
(Ⅲ)证明:直线FG与平面BCD相交.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,平面PAD⊥平面ABCD,点M在线段PB上,PD//平面MAC,PA=PD=,AB=4.
(1)求证:M为PB的中点;
(2)求二面角B-PD-A的大小;
(3)求直线MC与平面BDP所成角的正炫值。
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1C1C是边长为4的正方形.平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5.
(Ⅰ)求证:AA1⊥平面ABC;
(Ⅱ)求证二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值;
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某测试团队为了研究“饮酒”对“驾车安全”的影响,随机选取名驾驶员先后在无酒状态、酒后状态下进行“停车距离”测试.试验数据分别列于表
和表
.统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值作为代表.
停车距离 | |||||
频数 |
表
平均每毫升血液酒精含量 | |||||
平均停车距离 |
表
(1)根据最小二乘法,由表的数据计算
关于
的回归方程
;
(2)该测试团队认为:驾驶员酒后驾车的平均“停车距离”大于无酒状态下(表
)的停车距离平均数的
倍,则认定驾驶员是“醉驾”.请根据(1)中的回归方程,预测当每毫升血液酒精含量大于多少毫克时为“醉驾”?
附:回归方程中,
,
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】随着网络的飞速发展,人们的生活发生了很大变化,其中无现金支付是一个显著特征,某评估机构对无现金支付的人群进行网络问卷调查,并从参与调查的数万名受访者中随机选取了300人,把这300人分为三类,即使用支付宝用户、使用微信用户、使用银行卡用户,各类用户的人数如图所示,同时把这300人按年龄分为青年人组与中年人组,制成如图所示的列联表:
支付宝用户 | 非支付宝用户 | 合计 | |
中老年 | 90 | ||
青年 | 120 | ||
合计 | 300 |
(1) 完成列联表,并判断是否有99%的把握认为使用支付宝用户与年龄有关系?
(2)把频率作为概率,从所有无现金支付用户中(人数很多)随机抽取3人,用表示所选3人中使用支付宝用户的人数,求
的分布列与数学期望.
附:
0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
,其中
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数,
。
Ⅰ.求函数的最小正周期和单调递增区间;
Ⅱ.当时,方程
恰有两个不同的实数根,求实数
的取值范围;
Ⅲ.将函数的图象向右平移
个单位后所得函数
的图象关于原点中心对称,求
的最小值。
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