【题目】如图,在以为顶点的五面体中,面为正方形,,,且二面角与二面角都是.
(1)证明:平面;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析;
(2).
【解析】
(1)推导出AF⊥DF,AF⊥FE,由线面垂直的判定定理即可证明AF⊥平面EFDC.
(2)过D作DG⊥EF,由DG⊥平面ABEF,以G为坐标原点,的方向为x轴正方向,||为单位长度,建立空间直角坐标系G﹣xyz,利用向量法求出平面BCE的法向量,则可求得直线BF与平面BCE所成角的正弦值.
(1)面ABEF为正方形
又,而,
面,面
面
(2),则由(1)知面平面,过作,垂足为,平面.
以为坐标原点,的方向为轴正方向,为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系.
由(1)知为二面角的平面角,故,又,则,,,,.
由已知,,平面.又平面平面,
故,.由,可得平面,
为二面角的平面角,..
,,.
设是平面的法向量,则,即,
可取 .
则.
直线与平面BCE所成角的正弦值为 .
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【题目】设点A是抛物线上到直线的距离最短的点,点B是抛物线上异于点A的一点,直线AB与l交于P,过点P作y轴的平行线交抛物线于点C.
(1)求点A的坐标;
(2)求证:直线BC过定点;
(3)求面积的最小值.
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【题目】某城市在进行创建文明城市的活动中,为了解居民对“创文”的满意程度,组织居民给活动打分(分数为整数.满分为100分).从中随机抽取一个容量为120的样本.发现所有数据均在内.现将这些分数分成以下6组并画出了样本的频率分布直方图,但不小心污损了部分图形,如图所示.观察图形,回答下列问题:
(1)算出第三组的频数.并补全频率分布直方图;
(2)请根据频率分布直方图,估计样本的众数、中位数和平均数.(每组数据以区间的中点值为代表)
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【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为、,且两焦点的距离为,椭圆上一点与两焦点构成的三角形的周长为.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点的直线交椭圆于、两点,若,求直线的方程.
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【题目】有20名学生参加某次考试,成绩(单位:分)的频率分布直方图如图所示:
(Ⅰ)求频率分布直方图中的值;
(Ⅱ)分别求出成绩落在中的学生人数;
(Ⅲ)从成绩在的学生中任选2人,求所选学生的成绩都落在中的概率
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【题目】学校从参加高二年级期末考试的学生中抽出一些学生,并统计了他们的数学成绩(成绩均为整数且满分为100分),所得数据整理后,列出了如下频率分布表.
分组 | 频数 | 频率 |
[40,50) | A | 0.04 |
[50,60) | 4 | 0.08 |
[60,70) | 20 | 0.40 |
[70,80) | 15 | 0.30 |
[80,90) | 7 | B |
[90,100] | 2 | 0.04 |
合计 | C | 1 |
(1)在给出的样本频率分布表中,求A,B,C的值;
(2)补全频率分布直方图,并利用它估计全体高二年级学生期末数学成绩的众数、中位数;
(3)现从分数在[80,90),[90,100]的9名同学中随机抽取两名同学,求被抽取的两名学生分数均不低于90分的概率.
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【题目】学校从参加高二年级期末考试的学生中抽出一些学生,并统计了他们的数学成绩(成绩均为整数且满分为100分),所得数据整理后,列出了如下频率分布表.
分组 | 频数 | 频率 |
[40,50) | A | 0.04 |
[50,60) | 4 | 0.08 |
[60,70) | 20 | 0.40 |
[70,80) | 15 | 0.30 |
[80,90) | 7 | B |
[90,100] | 2 | 0.04 |
合计 | C | 1 |
(1)在给出的样本频率分布表中,求A,B,C的值;
(2)补全频率分布直方图,并利用它估计全体高二年级学生期末数学成绩的众数、中位数;
(3)现从分数在[80,90),[90,100]的9名同学中随机抽取两名同学,求被抽取的两名学生分数均不低于90分的概率.
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