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20.己知函数f(x)=a-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$(a∈R).
(1)判断并证明函数的单调性;
(2)若函数f(x)为奇函数,求实数a的值;
(3)若函数f(x)定义在(-2,2)上,在(2)条件下解不等式f(x-2)+f(2x-1)>0.

分析 (1)按取点,作差,变形,判断的过程来即可;
(2)利用奇函数定义域内有0,f(0)=0来求a值;
(3)利用单调性和奇偶性把f(2x-1)+f(x-2)>0,转化为-2<2-x<2x-1<2,解不等式,即可得到所求解集..

解答 解:(1)f(x)在R上递增.
证明;设x1<x2,则f(x1)-f(x2)=a-$\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}$-(a-$\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}$)
=$\frac{2({2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}})}{({2}^{{x}_{1}}+1)({2}^{{x}_{2}}+1)}$,
∵y=2x在实数集上是增函数且函数值恒大于0,
故${2}^{{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$<0,${2}^{{x}_{1}}$+1>0,${2}^{{x}_{2}}$+1>0,
即f(x1)-f(x2)<0.
∴f(x)在R上是单调递增函数;
(2)由函数定义域为R,
∵f(x)是奇函数,
∴f(0)=0,即a-$\frac{2}{{2}^{0}+1}$=0,
解得a=1;
(3)由(1)(2)可得f(x)在(-2,2)上是单调增函数且是奇函数,
∴f(x-2)+f(2x-1)>0.
即有f(2x-1)>-f(x-2)=f(2-x),
即为$\left\{\begin{array}{l}{-2<2x-1<2}\\{-2<2-x<2}\\{2x-1>2-x}\end{array}\right.$即有$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}<x<\frac{3}{2}}\\{0<x<4}\\{x>1}\end{array}\right.$,
解得1<x<$\frac{3}{2}$,
则解集为(1,$\frac{3}{2}$).

点评 本题综合考查了函数的单调性和奇偶性及运用:解不等式.同时考查奇函数的性质和不等式的解法,属于中档题.

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