Question

【题目】直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB=2，AC=4，AA1=2， =λ ．

（1）若λ=1，求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值；
（2）若二面角B1﹣A1C1﹣D的大小为60°，求实数λ的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：分别以AB，AC，AA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．

则A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），A1（0，0，2），B1（2，0，2），C1（0，4，2），

当λ=1时，D为BC的中点，∴D（1，2，0），

=（1，﹣2，2）， =（0，4，0）， =（1，2，﹣2），

设平面A1C1D的法向量为 =（x，y，z），

则 ，取x=2，

得 =（2，0，1），

又cos＜ ＞= = = ，

∴直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值为 ．）

（2）解：∵ = ，∴D（ ， ，0），

∴ =（0，4，0）， =（ ， ，﹣2），

设平面A1C1D的法向量为 =（x，y，z），

则 ，取z=1，得 =（λ+1，0，1）．

又平面A1B1C1的一个法向量为 =（0，0，1），

∵二面角B1﹣A1C1﹣D的大小为60°，

∴|cos＜ ＞|=| |= = ，

解得 或 （不合题意，舍去），

∴实数λ的值为 ．

【解析】（1）分别以AB，AC，AA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值．（2）求出平面A1C1D的法向量和平面A1B1C1的一个法向量，利用向量法能求出实数λ的值．
【考点精析】利用空间角的异面直线所成的角对题目进行判断即可得到答案，需要熟知已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则．