Question

16．圆F：（x-1）²-y²=1和抛物线y²=4x，过F的直线l与抛物线和圆依次交于A、B、C、D四点
（1）当|BD|+|AC|=7时，求直线l的方程；
（2）是否存在过点F的直线l，使得三角形OAB与三角形OCD的面积之比为4：1，若存在，求出直线l的方程，否则说明理由．

Answer 1

分析 （1）方法一：设直线AD的y=k（x-1），代入椭圆方程，利用韦达定理及抛物线的焦点弦公式，即可求得k的值，求得抛物线方程；
方法二：由丨AD丨=2p（1+$\frac{1}{ta{n}^{2}θ}$）=5，求得直线AD的倾斜角，即可求得k的值，求得抛物线方程；
（2）由三角形额面积公式，求得丨AB丨：丨CD丨=4：1，根据抛物线的焦点弦公式，求得|AB|•|CD|=x₁x₂=1，即可求得x₁及x₂，代入即可求得k的值，求得直线AD方程．

解答 解：（1）抛物线的焦点坐标为F（1，0）
由题意可知：直线AD的斜率显然存在，设直线AD的y=k（x-1），A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
则$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，整理得：k²x²-2（k²+2）x+k²=0，
x₁+x₂=$\frac{2（{k}^{2}+2）}{{k}^{2}}$，x₁x₂=1，
|BD|+|AC|=丨AD丨+丨BC丨=7，
则丨AD丨=5，
由抛物线的焦点弦公式丨AD丨=x₁+x₂+p=x₁+x₂+2，
即$\frac{2（{k}^{2}+2）}{{k}^{2}}$=3，解得：k=±2，
直线l的方程y-2x+2=0或y+2x-2=0；
方法二：假设存在过点F的直线l，使得三角形OAB与三角形OCD的面积之比为4：1，
设直线AD的y=k（x-1），直线AD的倾斜角为θ，A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
则$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，整理得：k²x²-2（k²+2）x+k²=0，
x₁+x₂=$\frac{2（{k}^{2}+2）}{{k}^{2}}$，x₁x₂=1，
|BD|+|AC|=丨AD丨+丨BC丨=7，
则丨AD丨=5，
由丨AD丨=x₁+x₂+p=x₁+x₂+p=2p（1+$\frac{1}{ta{n}^{2}θ}$）=5，解得：tanθ=±2，
直线AD的斜率为k=±2，
直线l的方程y-2x+2=0或y+2x-2=0；
（2）设O到直线AD的距离d，由△OAB与△OCD的面积之比为4：1，
即S₁：S₂=（$\frac{1}{2}$丨AB丨•d）：（$\frac{1}{2}$丨CD丨•d）=4：1，
∴丨AB丨：丨CD丨=4：1，
设直线方程为y=k（x-1），
则$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，整理得：k²x²-2（k²+2）x+k²=0，
x₁+x₂=$\frac{2（{k}^{2}+2）}{{k}^{2}}$，x₁x₂=1，
而抛物线的焦点F同时是已知圆的圆心，则|BF|=|CF|=1，
∴|AB|=|AF|-|BF|=x₁，|CD|=|DF|-|CF|=x₂．
∴|AB|•|CD|=x₁x₂=1，解得：|AB|=x₁=4，|CD|=x₂=$\frac{1}{4}$，
则x₁+x₂=$\frac{2（{k}^{2}+2）}{{k}^{2}}$=$\frac{17}{4}$，解得：k=±$\frac{4}{3}$，
∴直线l的方程3y-4x+4=0或3y+4x-4=0．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查直线与抛物线的位置关系，韦达定理，抛物线的焦点弦公式，考查计算能力，属于中档题．