Question

（2013•顺义区二模）已知函数f(x)=

ex

1+ax2

，其中a为正实数，x=

1

2

是f（x）的一个极值点．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）当b＞

1

2

时，求函数f（x）在[b，+∞）上的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依题意，x=

1

2

是函数y=f（x）的一个极值点，由f′（

1

2

）=0即可求得a的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′（x）=

( 4 3 x2- 8 3 x+1)ex

(1+ 4 3 x2)2

，令f′（x）=0，可求得极值点，通过对f（x）与f′（x）的变化情况列表，可求得f（x）的单调区间，再对b分

1

2

＜b＜

3

2

与b≥

3

2

两类讨论即可求得函数f（x）在[b，+∞）上的最小值．

解答：解：f′（x）=

(ax2-2ax+1)ex

(1+ax2)2

，
（Ⅰ）因为x=

1

2

是函数y=f（x）的一个极值点，
所以f′（

1

2

）=0，
因此，

1

4

a-a+1=0，
解得a=

4

3

，
经检验，当a=

4

3

时，x=

1

2

是y=f（x）的一个极值点，故所求a的值为

4

3

．…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f′（x）=

( 4 3 x2- 8 3 x+1)ex

(1+ 4 3 x2)2

，
令f′（x）=0，得x₁=

1

2

，x₂=

3

2

，
f（x）与f′（x）的变化情况如下：

x	（-∞， 1 2 ）	1 2	（ 1 2 ， 3 2 ）	3 2	（ 3 2 ，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）		3 e 4		e e 4

所以，f（x）的单调递增区间是（-∞，

1

2

），（

3

2

，+∞）．单调递减区间是（

1

2

，

3

2

）．
当

1

2

＜b＜

3

2

时，f（x）在[b，

3

2

）上单调递减，在（

3

2

，+∞）上单调递增，
所以f（x）在[b，+∞）上的最小值为f（

3

2

）=

e e

4

，
当b≥

3

2

时，f（x）在[b，+∞）上单调递增，
所以f（x）在[b，+∞）上的最小值为f（b）=

eb

1+ab2

=

3eb

3+4b2

．…（13分）

点评：本题考查函数在某点取得极值的条件，考查利用导数求闭区间上函数的最值，突出分类讨论思想与方程思想的考查，属于中档题．