Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c最小值为-1，且f（2-x）=f（2）+f（x）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在区间[2m，m+1]上单调，求m的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）求出f（2-x），再由恒等式的性质，对应项的系数相等，即可得到f（x）=ax²-2ax，再由最小值为-1，即可得到a，进而得到解析式；
（2）求得对称轴，讨论区间和对称轴的关系，即可得到m的范围．

解答： 解：（1）f（2-x）=a（2-x）²+b（2-x）+c=ax²-（4a+b）x+4a+2b+c，
因为f（2-x）=f（2）+f（x）
所以ax²-（4a+b）x+4a+2b+c=4a+2b+c+ax²+bx+c，
即有

-(4a+b)=b c=0

，即

b=-2a c=0

所以f（x）=ax²-2ax=a（x-1）²-a，
因为f（x）=ax²+bx+c最小值为-1，所以a=1
所以f（x）=x²-2x；
（2）若f（x）在区间[2m，m+1]上单调，
所以

m+1≤1 m+1＞2m

或

2m≥1 m+1＞2m

，即m≤0或

1

2

≤m＜1
所以m的取值范围是（-∞，0]∪[

1

2

，1）．

点评：本题考查二次函数的解析式的求法，注意恒等式的性质，考查函数的单调性和运用，考查运算能力，属于中档题．