Question

13．设动圆C与圆：（x-2）²+y²=1外切，与直线x=-1相切．
（1）求动圆圆心C的轨迹方程；
（2）若曲线E与C的轨迹关于直线y=x对称，求两曲线围成封闭图形的面积；
（3）过点F（0，2）任作一直线l交曲线E于A，B两点，是否存在一直线使以A，B为切点的切线的焦点总在此直线上，若存在，求此直线方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由圆（x-2）²+y²=1可得：圆心F（2，0），半径r=1．设所求动圆圆心为P（x，y），过点P作PM⊥直线l：x+1=0，M为垂足．可得：|PF|-r=|PM|，即|PF|=|PM|+1．因此可得：点P的轨迹是到定点F（2，0）的距离和到直线L：x=-2的距离相等的点的集合．由抛物线的定义可知：点P的轨迹是抛物线．求出即可．
（2）求出A的坐标，利用定积分求两曲线围成封闭图形的面积；
（3）设直线l的方程与抛物线方程联立，消去y，得到关于A，B点横坐标的一元二次方程，求两根的和与积，再用导数求过A，B点的切线方程，求出交点坐标，即可得出结论．

解答 解：（1）由圆（x-2）²+y²=1可得：圆心F（2，0），半径r=1．
设所求动圆圆心为P（x，y），过点P作PM⊥直线l：x+1=0，M为垂足．
则|PF|-r=|PM|，可得|PF|=|PM|+1．
因此可得：点P的轨迹是到定点F（2，0）的距离和到直线L：x=-2的距离相等的点的集合．
由抛物线的定义可知：点P的轨迹是抛物线，定点F（2，0）为焦点，定直线L：x=-2是准线．
∴抛物线的方程为：y²=8x．
∴与圆（x-2）²+y²=1外切，且与直线x+1=0相切的动圆圆心的轨迹方程是y²=8x；
（2）曲线E的方程为x²=8y，与y²=8x联立可得A（8，8），
∴两曲线围成封闭图形的面积为${∫}_{0}^{3}（\sqrt{8x}-\frac{1}{8}{x}^{2}）dx$=（$2\sqrt{2}•\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{24}{x}^{3}$）${|}_{0}^{8}$=$\frac{64}{3}$；
（3）由题意，设直线L的方程为y=kx+2，A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）
与抛物线方程联立，消去y，并整理得，x²-8kx-16=0
∴x₁x₂=-16，x₁+x₂=8k．
∵抛物线的方程为y=$\frac{1}{8}$x²，求导得y′=$\frac{1}{4}$x，
∴过抛物线上A，B两点的切线方程分别是
y-y₁=$\frac{1}{4}$x₁（x-x₁），y-y₂=$\frac{1}{4}$x₂（x-x₂）
解得两条切线的交点M的坐标为（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，-2）
∴曲线E在A，B两点处的切线的交点总在直线y=-2上．

点评 本题考查了抛物线，椭圆与直线导数等的综合应用，考查了两圆相外切的性质、抛物线的定义、转化思想方法，属于中档题．