分析 (1)由圆(x-2)2+y2=1可得:圆心F(2,0),半径r=1.设所求动圆圆心为P(x,y),过点P作PM⊥直线l:x+1=0,M为垂足.可得:|PF|-r=|PM|,即|PF|=|PM|+1.因此可得:点P的轨迹是到定点F(2,0)的距离和到直线L:x=-2的距离相等的点的集合.由抛物线的定义可知:点P的轨迹是抛物线.求出即可.
(2)求出A的坐标,利用定积分求两曲线围成封闭图形的面积;
(3)设直线l的方程与抛物线方程联立,消去y,得到关于A,B点横坐标的一元二次方程,求两根的和与积,再用导数求过A,B点的切线方程,求出交点坐标,即可得出结论.
解答 解:(1)由圆(x-2)2+y2=1可得:圆心F(2,0),半径r=1.
设所求动圆圆心为P(x,y),过点P作PM⊥直线l:x+1=0,M为垂足.
则|PF|-r=|PM|,可得|PF|=|PM|+1.
因此可得:点P的轨迹是到定点F(2,0)的距离和到直线L:x=-2的距离相等的点的集合.
由抛物线的定义可知:点P的轨迹是抛物线,定点F(2,0)为焦点,定直线L:x=-2是准线.
∴抛物线的方程为:y2=8x.
∴与圆(x-2)2+y2=1外切,且与直线x+1=0相切的动圆圆心的轨迹方程是y2=8x;
(2)曲线E的方程为x2=8y,与y2=8x联立可得A(8,8),
∴两曲线围成封闭图形的面积为${∫}_{0}^{3}(\sqrt{8x}-\frac{1}{8}{x}^{2})dx$=($2\sqrt{2}•\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{24}{x}^{3}$)${|}_{0}^{8}$=$\frac{64}{3}$;
(3)由题意,设直线L的方程为y=kx+2,A(x1,y1)B(x2,y2)
与抛物线方程联立,消去y,并整理得,x2-8kx-16=0
∴x1x2=-16,x1+x2=8k.
∵抛物线的方程为y=$\frac{1}{8}$x2,求导得y′=$\frac{1}{4}$x,
∴过抛物线上A,B两点的切线方程分别是
y-y1=$\frac{1}{4}$x1(x-x1),y-y2=$\frac{1}{4}$x2(x-x2)
解得两条切线的交点M的坐标为($\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$,-2)
∴曲线E在A,B两点处的切线的交点总在直线y=-2上.
点评 本题考查了抛物线,椭圆与直线导数等的综合应用,考查了两圆相外切的性质、抛物线的定义、转化思想方法,属于中档题.
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A. | 15 | B. | 30 | C. | 45 | D. | 75 |
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A. | 一条直线与两个平行平面中的一个相交,则必与另一个平面相交 | |
B. | 平行于同一平面的两条直线不一定平行 | |
C. | 如果平面α,β垂直,则过α内一点有无数条直线与β垂直 | |
D. | 如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β |
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