【题目】已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),记f[2](x)=f(f(x)),例:f(x)=x2+1,
则f[2](x)=(f(x))2+1=(x2+1)2+1;
(1)f(x)=x2﹣x,解关于x的方程f[2](x)=x;
(2)记△=(b﹣1)2﹣4ac,若f[2](x)=x有四个不相等的实数根,求△的取值范围.
【答案】
(1)解:由题意:当f(x)=x2﹣x时,则:f[2](x)=(x2﹣x)2﹣(x2﹣x)=x4﹣2x3+x;
那么:f[2](x)=x;即:x4﹣2x3+x=x;
解得:x=0或x=2
(2)解:根据新类型的定义:f(f(x))=x,令f(x)﹣x=t,
则f(x)﹣t=x,f(x)=t+x,
则有:f(t+x)=f(x)﹣t.即a(t+x)2+b(t+x)+c=ax2+bx+c﹣t,
化简可得:at2+(2ax+b+1)t=0,
解得:t=0或t= .
当t=0时,即ax2+bx+c=x,有两个不相同的实数根,可得(b﹣1)2﹣4ac>0.
当t= 时,ax2+bx+c=x
,整理可得:
,
∴△= =(b+1)2﹣4ac+4(b+1)=(b﹣1)2﹣4ac﹣4
∵有两个不相同的实数根△>0.
∴(b﹣1)2﹣4ac﹣4>0,即(b﹣1)2﹣4ac>4.
综上所得△=(b﹣1)2﹣4ac的取值范围是(4,+∞)
【解析】(1)根据新类型的定义,求解f[2](x),再解方程即可.(2)换元思想,根据新类型的定义:f(f(x))=x,令f(x)﹣x=t,则f(x)﹣t=x,f(x)=t+x,则有:f(t+x)=f(x)﹣t.带入二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),求出t,t又是二次函数的值,即ax2+bx+c=t
函数必有两个根,△>0.化简可得(b﹣1)2﹣4ac的取值范围.
【考点精析】本题主要考查了二次函数的性质的相关知识点,需要掌握当时,抛物线开口向上,函数在
上递减,在
上递增;当
时,抛物线开口向下,函数在
上递增,在
上递减才能正确解答此题.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,建立平面直角坐标系xOy,x轴在地平面上,y轴垂直于地平面,单位长度为1千米,某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx-表示的曲线上,其中k与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.
(1)当k=2时,求炮的射程;
(2)求炮的最大射程;
(3)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为3.2千米,试问它的横坐标a不超过多少时,炮弹可以其中它?请说明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某学校上学期的期中考试后,为了了解某学科的考试成绩,根据学生的考试成绩利用分层抽样抽取名学生的成绩进行统计(所有学生成绩均不低于
分),得到学生成绩的频率分布直方图如图,回答下列问题;
(Ⅰ)根据频率分布直方图计算本次考试成绩的平均分;
(Ⅱ)已知本次全校考试成绩在内的人数为
,试确定全校的总人数;
(Ⅲ)若本次考试抽查的人中考试成绩在
内的有
名女生,其余为男生,从中选择两名学生,求选择一名男生与一名女生的概率.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米,按交通法规限制50≤x≤100(单位:千米/时).假设汽油的价格是每升2元,而汽车每小时耗油升,司机的工资是每小时14元.
(1)求这次行车总费用y关于x的表达式;
(2)当x为何值时,这次行车的总费用最低,并求出最低费用的值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在四棱锥中,底面
为矩形,平面
平面
,
,
,
,
为
中点.
(Ⅰ)求证: 平面
;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)在棱上是否存在点
,使得
?若存在,求
的值;若不存在,说明理由.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com