Question

6．已知直线l与球O有且只有一个公共点P，从直线l出发的两个半平面α，β截球O的两个截面圆的半径分别为1、2，二面角α-l-β的平面角为$\frac{2π}{3}$，则球O的表面积$\frac{112}{3}π$．

Answer 1

分析 过P与O作直线l的垂面，画出截面图形，设出球的半径，通过解三角形，利用转化思想求出球的半径的平方，然后求出球的表面积．

解答 解：过P与O作直线l的垂面，画出截面图形，如图
设球的半径为r，作OE⊥QP，OF⊥PM，则EP=1，PF=2，
设∠OPE=α，∠OPF=$\frac{2π}{3}$-α，
所以 $\frac{rcosα}{rcos（\frac{2π}{3}-α）}$=$\frac{1}{2}$，
即sinα=3$\sqrt{3}cosα$，sin²α+cos²α=1解得
cos²α=$\frac{1}{28}$
所以r²=$\frac{28}{3}$；
所以球的表面积为：4πr²=4π×$\frac{28}{3}$=$\frac{112}{3}π$．
故答案为$\frac{112}{3}π$

点评 本题是中档题，考查二面角的有关知识，考查转化思想的应用，空间想象能力，计算能力．