Question

【题目】(本题满分15分)已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点(，)．

(Ⅰ) 求椭圆的方程；

(Ⅱ) 设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的取值范围．

Answer 1

【答案】(1)；（2）.

【解析】

(Ⅰ) 解：由题意可设椭圆方程为(a＞b＞0)，

则故

所以，椭圆方程为． ……………………………5分

(Ⅱ) 解：由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，

故可设直线l的方程为y＝kx＋m(m≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

由消去y得

(1＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0，

则Δ＝64k2b2－16(1＋4k2b2)(b2－1)＝16(4k2－m2＋1)＞0，

且，．

故 y1 y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2．

因为直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，

所以＝＝k2，

即＋m2＝0，又m≠0，

所以k2＝，即k＝．

由于直线OP，OQ的斜率存在，且Δ＞0，得

0＜m2＜2 且m2≠1．

设d为点O到直线l的距离，

则S△OPQ＝d |PQ |＝|x1－x2 | |m |＝，

所以S△OPQ的取值范围为 (0，1)． ……………………………15分