Question

【题目】设椭圆E： （a＞b＞0），其长轴长是短轴长的 倍，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的弦长为2 ．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设过右焦点F2且与x轴不垂直的直线l交椭圆E于P，Q两点，在线段OF2（O为坐标原点）上是否存在点M（m，0），使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：不妨设焦点的坐标是（c，0），

则过焦点且垂直于x轴的直线与椭圆的交点坐标为（c，y0），

代入 可得，y0= ，

因为过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的弦长为2 ，

所以 ，

由题意得，a= b，代入上式解得：a=2 、b= ，

故所求椭圆方程为

（2）解：假设在线段OF2上存在点M（m，0）（ ）满足条件，

∵直线与x轴不垂直，

∴设直线l的方程为 ．

设P（x1，y1），Q（x2，y2），

由 ，可得 ．

则 ， ．

∴ ， ，其中x2﹣x1≠0，

∵以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形，

∴ ．

∴（x1+x2﹣2m）（x2﹣x1）+（y1+y2）（y2﹣y1）=0．

∴x1+x2﹣2m+k（y1+y2）=0．

∴ ．

化简得 = （k≠0），

则

在线段OF2上存在点M（m，0）符合条件，且

【解析】（1）由题意先求出直线与椭圆的交点坐标，再列出方程求出a、b的值，代入椭圆方程即可；（2）先假设存在点M（m，0）（ ）满足条件，由点斜式设出直线l的方程，以及P、Q的坐标，将直线方程代入椭圆方程化简后，利用韦达定理、菱形的等价条件、向量知识，可求出m的范围，再进行判断．