Question

8．已知M={x，xy，$\sqrt{x-y}$}，N={0，|x|，y}，若M⊆N，且N⊆M，则（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$）+（$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{{y}^{2}}$）+…+（$\frac{1}{{x}^{2010}}$+$\frac{1}{{y}^{2010}}$）+（$\frac{1}{{x}^{2011}}$+$\frac{1}{{y}^{2011}}$）=-2．

Answer 1

分析 根据条件相等得到M=N，根据集合相等求出，x，y的值，结合等比数列的前n项和公式进行求解即可．

解答 解：∵若M⊆N，且N⊆M，
∴M=N，
∵M={x，xy，$\sqrt{x-y}$}，N={0，|x|，y}，
∴①若x=0，则M={0，0，$\sqrt{-y}$}不成立，
②如xy=0，则x=0（舍）或y=0，
若y=0，则M={x，0，$\sqrt{x}$}，N={0，|x|，0}，此时有N不成立，
③若$\sqrt{x-y}$=0，则x=y，此时M={x，x²，0}，N={0，|x|，x}，
则若M=N，则x²=|x|，解得x=0，或1或-1，
当x=0时，M={0，0，0}不成立，
当x=1时，M={1，0，1}不成立．
若x=-1，则M={-1，1，0}，N={0，-1，1}，满足条件．
此时y=x=-1，
则（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$）+（$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{{y}^{2}}$）+…+（$\frac{1}{{x}^{2010}}$+$\frac{1}{{y}^{2010}}$）+（$\frac{1}{{x}^{2011}}$+$\frac{1}{{y}^{2011}}$）
=（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$+…+$\frac{1}{{x}^{2010}}$+$\frac{1}{{x}^{2011}}$）+（$\frac{1}{y}$+$\frac{1}{{y}^{2}}$+…+$\frac{1}{{y}^{2010}}$+$\frac{1}{{y}^{2011}}$）
=2（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$+…+$\frac{1}{{x}^{2010}}$+$\frac{1}{{x}^{2011}}$）
=$\frac{2×\frac{1}{x}[1-（\frac{1}{x}）^{2011}]}{1-\frac{1}{x}}$=$\frac{-2（1+1）}{1+1}=\frac{-4}{2}=-2$，
故答案为：-2

点评 本题主要考查集合相等的应用以及等比数列的前n项和公式的计算，考查学生的运算和推理能力．