Question

（本小题满分12分）
设函数f(x)的定义域为R，若|f(x)|≤|x|对任意的实数x均成立，则称函数f(x)为函数。
（1）试判断函数= =中哪些是函数，并说明理由；
（2）求证：若a>1，则函数f(x)=ln(x²+a)-lna是函数。

Answer 1

（1）不是函数；（2）在R上恒有|f(x)| ≤|x|成立，则函数f(x) 是函数.

（1）∵|xsinx|≤|x|,∴f₁(x)=xsinx是函数；
∵，∴不满足|f(0)|≤|0|,
∴不是函数；………………………………4分
（2）设F(x)=f(x)-x,则F′(x)= 
①当x>0时，∵a>1,
∴
当x=0时，F′(x)=-1<0
∴当x≥0时，F′(x)=<0.
∴F(x)在上是减函数………………………………8分
∴F(x)≤F(0),又F(0)=f(0)=0,
∴F(x)=f(x)-x≤0
∵x>0时f′(x)=
∴函数f(x)在上是增函数，∴f(x)≥f(0)=0
∴0≤f(x)≤x,即|f(x)| ≤|x|
②当x<0时，-x>0, ∴|f(-x)|≤|-x|,显然f(x)为偶函数
∴|f(x)|≤|-x|即|f(x)| ≤|x|
∴在R上恒有|f(x)| ≤|x|成立，则函数f(x) 是函数. ………12分