Question

已知（1+3x）ⁿ的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121．
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式中系数最大的项．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，利用二项式系数为C_n^r，列出方程求出n值，由于n为奇数，故可知展开式的中间两项二项式系数最大．
（2）利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，利用展开式中最大的系数大于它前面的系数同时大于它后面的系数求出展开式中系数最大的项．
解答：解：由题意，∵末三项的二项式系数分别为C_n^n-2，C_n^n-1，C_nⁿ
∴C_n^n-2+C_n^n-1+C_nⁿ=121
∴C_n²+C_n¹+C_n=121即n²+n-240=0
∴n=15或n=-16（舍）
（1）∴T_r+1=C₁₅^r（3x）^r=C₁₅^r3^rx^r
设第r+1项与第r项的系数分别为t_r+1，t_r
令t_r+1=C₁₅^r3^r，t_r=C₁₅^r-13^r-1
∴t_r+1≥t_r则可得3（15-r+1）＞r解得r≤12
∴当r取小于12的自然数时，都有t_r＜t_r+1当r=12时，t_r+1=t_r
∴展开式中系数最大的项为T₁₂=C₁₅¹¹3¹¹x¹¹和T₁₃=C₁₅¹²3¹²x¹²
（2）T_r+1=C₁₅^r（3x）^r=C₁₅^r3^rx^r
设第r+1项与第r项的系数分别为t_r+1，t_r
令t_r+1=C₁₅^r3^r，t_r=C₁₅^r-13^r-1
∴t_r+1≥t_r则可得3（15-r+1）＞r解得r≤12
∴当r取小于12的自然数时，都有t_r＜t_r+1
当r=12时，t_r+1=t_r
∴展开式中系数最大的项为T₁₂=C₁₅¹¹3¹¹x¹¹和T₁₃=C₁₅¹²3¹²x¹²
点评：本题以二项式为载体，考查考展开式中二项式系数最大项，考查二项展开式中的系数最大的项的求法，利用最大的系数大于它前面的系数同时大于它后面的系数是求二项展开式中的系数最大的项的关键