Question

设函数f(x)=ex-

k

2

x2-x．
（1）若k=0，求f（x）的最小值；
（2）若当x≥0时f（x）≥1，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）将k的值代入f（x），求出f（x）的导函数，令导函数大于0求出函数的单调递增区间，令导函数小于0求出函数的单调递减区间，求出函数的最小值．
（2）求出f（x）的导函数，再求出导函数的导数，通过对k的讨论，判断出二阶导数的符号，判断出f（x）的导函数的最值，从而判断出导函数的符号，得到f（x）的单调性，求出f（x）的最小值，令最小值大于1，列出不等式求出k的范围．

解答：解：（1）k=0时，f（x）=e^x-x，
f'（x）=e^x-1．
当x∈（-∞，0）时，f'（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0．
所以f（x）在（-∞，0）上单调减小，在（0，+∞）上单调增加
故f（x）的最小值为f（0）=1
（2）f'（x）=e^x-kx-1，
f''（x）=e^x-k
当k≤1时，f''（x）≥0（x≥0），
所以f'（x）在[0，+∞）上递增，
而f'（0）=0，
所以f'（x）≥0（x≥0），
所以f（x）在[0，+∞）上递增，
而f（0）=1，
于是当x≥0时，f（x）≥1．
当k＞1时，
由f''（x）=0得x=lnk
当x∈（0，lnk）时，f''（x）＜0，所以f'（x）在（0，lnk）上递减，
而f'（0）=0，于是当x∈（0，lnk）时，f'（x）＜0，所以f（x）在（0，lnk）上递减，
而f（0）=1，所以当x∈（0，lnk）时，f（x）＜1．
综上得k的取值范围为（-∞，1]．

点评：本题考查导数在最大值与最小值问题中的应用，解题的关键是利用导数研究出函数的单调性，判断出函数的最值，本题第二小题是一个恒成立的问题，恒成立的问题一般转化最值问题来求解，本题即转化为用单调性求函数在闭区间上的最值的问题，求出最值再判断出参数的取值．