【题目】已知数列
的前
项和为
，
，
，
.
（1）求证：数列
是等比数列；
（2）设数列
的前项和为
，
，点
在直线
上，若不等式
对于恒成立，求实数
的最大值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
（1）根据
，利用数列通项与前n项和的关系，由
，得
，两式相减变形为
，再利用等比数列的定义证明.
（2）由（1）得
，根据点
在直线
上，得到
，由等差数列的定义得到
是等差数列，利用通项公式可得
，进而求得
，令
，用错位相减法化简得到
，将不等式
，转化为
恒成立求解.
（1）由，
得，
两式相减得
，
变形为
∵
，
∴
，
，
，
∴
是以1为首项，公比为2的等比数列.
（2）由（1）得，
∵点在直线上，∴，
故是以
为首项，
为公差的等差数列.
则
，
∴.
当
时，
，
∵
满足该式，
∴.
∴不等式，
即为
，
令，则
，
两式相减得
，
∴，
由
恒成立，即恒成立，
又
，
故当
时，
单调递减；当
时，
；
当
时，单调递增；当
时，
；
则
的最小值为，
所以实数m的最大值是.
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【题目】某企业甲,乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为
和
,现安排甲组研发新产品
,乙组研发新产品
.设甲,乙两组的研发是相互独立的.
(1)求至少有一种新产品研发成功的概率;
(2)若新产品
研发成功,预计企业可获得
万元,若新产品
研发成功,预计企业可获得利润
万元,求该企业可获得利润的分布列和数学期望.
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【题目】函数
在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B，C为
的图象与x轴的交点，且
为等边三角形.将函数的图象上各点的横坐标变为原来的
倍后，再向右平移
个单位，得到函数
的图象.
（1）求函数
的解析式；
（2）若不等式
对任意
恒成立，求实数m的取值范围.
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【题目】已知数列
.如果数列
满足
， 
，其中
，则称
为
的“陪伴数列”.
（Ⅰ）写出数列
的“陪伴数列”
；
（Ⅱ）若
的“陪伴数列”是
.试证明： 
成等差数列.
（Ⅲ）若
为偶数，且
的“陪伴数列”是
，证明： 
.
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【题目】如图，四棱锥
中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.
（1）求证：PB∥平面AEC；
（2）求证：平面PAC⊥平面PBD；
（3）当PA=AB=2，∠ABC=
时，求三棱锥
的体积.
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【题目】已知动点M到定点F1（-2，0）和F2（2，0）的距离之和为
．
（1）求动点M轨迹C的方程；
（2）设N（0，2），过点P（-1，-2）作直线l，交椭圆C于不同于N的A，B两点，直线NA，NB的斜率分别为k1，k2，问k1+k2是否为定值？若是的求出这个值．
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【题目】已知数列{an}满足a1＝1， 
，其中n∈N*．
（1）设
，求证：数列{bn}是等差数列，并求出{an}的通项公式．
（2）设
，数列{cncn+2}的前n项和为Tn，是否存在正整数m，使得
对于n∈N*，恒成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明．
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【题目】已知点A(0，－2)，椭圆E： 
(a>b>0)的离心率为
，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为
，O为坐标原点.
(1)求E的方程；
(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点.当△OPQ的面积最大时，求l的方程.
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