【题目】已知函数,且曲线在点处的切线与直线垂直.
(1)求函数的单调区间;
(2)求证:时,.
【答案】(1)的单调增区间为,无减区间(2)详见解析.
【解析】
(1)求出原函数的导函数,得到函数在x=1时的导数,再求得f(1),然后利用直线方程的点斜式得答案;(2)构造新函数h(x)=ex﹣x2﹣(e﹣2)x﹣1,证明ex﹣(e﹣2)x﹣1≥x2;令新函数φ(x)=lnx﹣x,证明x(lnx+1)≤x2,从而证明结论成立.
(1)由,得.
因为曲线在点处的切线与直线垂直,
所以,所以,即,.
令,则.所以时,,单调递减;
时,,单调递增.所以,所以,单调递增.
即的单调增区间为,无减区间
(2)由(1)知,,所以在处的切线为,
即.
令,则,
且,,
时,,单调递减;
时,,单调递增.
因为,所以,因为,所以存在,使时,,单调递增;
时,,单调递减;时,,单调递增.
又,所以时,,即,
所以.
令,则.所以时,,单调递增;
时,,单调递减,所以,即,
因为,所以,所以时,,
即时,.
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【题目】已知椭圆的离心率为,以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的面积为.
(1)求椭圆E的方程;
(2)若直线与椭圆E相交于A,B两点,设P为椭圆E上一动点,且满足(O为坐标原点).当时,求的最小值.
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【题目】春节期间某商店出售某种海鲜礼盒,假设每天该礼盒的需求量在范围内等可能取值,该礼盒的进货量也在范围内取值(每天进1次货).商店每销售1盒礼盒可获利50元;若供大于求,剩余的削价处理,每处理1盒礼盒亏损10元;若供不应求,可从其它商店调拨,销售1盒礼盒可获利30元.设该礼盒每天的需求量为盒,进货量为盒,商店的日利润为元.
(1)求商店的日利润关于需求量的函数表达式;
(2)试计算进货量为多少时,商店日利润的期望值最大?并求出日利润期望值的最大值.
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【题目】如图,在四棱锥PABCD-中,AB//CD,AB=1,CD=3,AP=2,DP=2,PAD=60°,AB⊥平面PAD,点M在棱PC上.
(Ⅰ)求证:平面PAB⊥平面PCD;
(Ⅱ)若直线PA// 平面MBD,求此时直线BP与平面MBD所成角的正弦值.
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【题目】如图,已知抛物线的焦点为,准线为,过点的直线交抛物线于,两点,点在准线上的投影为,点是抛物线上一点,且满足.
(1)若点坐标是,求线段中点的坐标;
(2)求面积的最小值及此时直线的方程.
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