Question

已知△ABC中，角A，B，C所对边长分别是a，b，c，设函数f(x)=x2+bx-

1

4

为偶函数，且f(cos

B

2

)=0．
（1）求角B的大小；
（2）若△ABC的面积为

3

4

，其外接圆的半径为

2 3

3

，求△ABC的周长．

Answer 1

分析：（1）由f（-x）=-f（x），解得 b=0，再由f(cos

B

2

)=0，解得cosB=-

1

2

，由此求得B的值．
（2）由正弦定理

b

sinB

=

4 3

3

，解得b=2，再由余弦定理可得 a²+c²+ac=4．再由△ABC的面积为

3

2

，可得 ac=2，进而可得a²+c²=2，故 a+c=

6

，从而求得△ABC的周长．

解答：解：（1）由函数f(x)=x2+bx-

1

4

为偶函数，可得f（-x）=-f（x），解得 b=0，
又f(cos

B

2

)=0，可得 cos2

B

2

-

1

4

=0，即

1+cosB

2

=

1

4

，解得cosB=-

1

2

．
而0＜B＜π，∴B=

2π

3

．
（2）△ABC的外接圆的半径为

2 3

3

，由正弦定理：

b

sinB

=

4 3

3

，解得b=2．
由余弦定理得：4=a2+c2-2accos

2π

3

，化简可得 a²+c²+ac=4．
又△ABC的面积为

3

2

，∴S△ABC=

1

2

acsin

2π

3

=

3

2

，故有 ac=2．
∴a²+c²=2，∴（a+c）²=a²+c²+2ac=6，故 a+c=

6

，
∴△ABC的周长是：a+b+c=2+

6

．

点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，三角形的内角和公式，二倍角公式的余弦公式的应用，判断三角形的形状的方法，属于中档题．