设a=lgz+lg[x(yz)-1+1],b=lgx-1+lg(xyz+1),c=lgy+lg[(xyz)-1+1],记a,b,c中最大数为M,则M的最小值为 .
【答案】
分析:化简a、b、c,利用基本不等式求得a+c≥2lg2,可得a、c 中至少有一个大于或等于lg2,故有M≥lg2.当x=y=z=1时,
a=b=c=lg2,此时,M=lg2,综上可得M的最小值.
解答:解:∵a=lgz+lg[x(yz)
-1+1]=lgz+lg(
+1)=lg(
),b=lg(yz+
),c=lg(
+y),
∴a+c=lg(
)(
+y)=lg(
+x+
+yz)≥lg(2+2)=2lg2,当且仅当x=1,且yz=1时取等号.
故a、c 中至少有一个大于或等于lg2,故有M≥lg2.
但当x=y=z=1时,a=b=c=lg2,此时,M=lg2.
综上可得,M的最小值为lg2,
故答案为 lg2.
点评:本题主要考查不等式与不等关系,基本不等式的应用,注意检验等号成立的条件,属于中档题.