Question

已知函数f(x)=Asin(ωx+?)，x∈R，(A＞0．ω＞0，0＜?＜

π

2

)的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为

π

2

，且图象上一个最低点为M(

2π

3

，-2)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设A，B，C是△ABC的三个内角，若cosB=

1

3

，f(

C

2

)=

3

，求sinA．

Answer 1

分析：（1）由题意得A=2且函数f（x）的周期为π，利用周期公式算出ω=2．根据图象上一个最低点M的坐标，建立关于?的等式解出?=

π

6

，即可得到f（x）的解析式；
（2）利用同角三角函数的关系，算出sinB=

2 2

3

．由（1）的结论得f(

C

2

)=2sin(C+

π

6

)=

3

，结合C为三角形的内角得出C=

π

2

或C=

π

6

，再利用三角形内角和定理、诱导公式与两角和的正弦公式，即可算出sinA的值．

解答：解：（1）∵函数图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为

π

2

，
∴函数的周期T=2×

π

2

=π，可得

2π

ω

=π，解得ω=2．
又∵函数图象上一个最低点为M(

2π

3

，-2)．
∴A=2，且ω•

2π

3

+?=

3π

2

+2kπ（k∈Z），即2•

2π

3

+?=

3π

2

+2kπ（k∈Z）
结合0＜?＜

π

2

，取k=0解得?=

π

6

，
∴f（x）的解析式为f(x)=2sin(2x+

π

6

)．
（2）∵cosB=

1

3

，B∈（0，π），
∴sinB=

1-cos2B

=

2 2

3

．
由（1）得f(

C

2

)=

3

，即2sin(C+

π

6

)=

3

，
∵C∈（0，π），
∴C+

π

6

∈(

π

6

，

7π

6

)，可得C=

π

2

或C=

π

6

，
当C=

π

2

时，A+B=

π

2

，可得sinA=cosB=

1

3

；
当C=

π

6

时，sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=

2 2

3

×

3

2

+

1

3

×

1

2

=

2 6 +1

6

．
综上所述，可得sinA=

1

3

或

2 6 +1

6

．

点评：本题给出函数的图象满足的条件，求函数的表达式并依此解三角形．着重考查了三角函数的图象与性质、三角函数的诱导公式和两角和的正弦公式等知识，属于中档题．